Глава 4. Интерполирование поверхностей по линиям

Выше были рассмотрены методы интерполирования поверхностей по точкам и геометрическим условиям в них. Однако зачастую требуется восстановить либо построить новую поверхность по заданным кривым на ней.

§1.Интерполирование по кривым (линейчатые или плазовые поверхности)

Линейчатые поверхности получаются в результате применения процедуры линейного интерполирования к кривым, а не к точкам ( Рис 4.1).

кривым, а не к точкам ( Рис 3.3).

Рис.4.1

Пусть зависимость P(u,v) описывает некоторую поверхность сложного вида. РассмотримP(u,0) иP(u,1) – уравнения, задающие две линии уровня на ней, которые являются пространственными кривыми. Тогда линейчатая по параметру v поверхность определяется как

S(u,v) =P(u,0) (1-v) +P(u,1) v . (4.1)

Если заданы линии уровня по параметру v - P(0,v) иP(1,v) , то линейчатая поверхность по параметру u задаётся как

S(u,v) =P(0,v) (1-u) +P(1,v) u. (4.2)

Линейчатая поверхность порождается отрезком прямой (в общем случае – переменной длины), скользящим по двум кривым. Например, если этими двумя кривыми служат окружности, расположенные в плоскостях перпендикуляр-ных прямой, соединяющей их центры, то построенная таким образом поверхность представляет собой конус, усеченный двумя плоскостями.

Функция LIN на языке Autolisp для построения линий уровня линейчатой поверхности и их проекций на плоскость z=0 , а также соответствующая отладочная функция приведены в Приложении.

§2. Линейные поверхности Кунса

Эти поверхности обеспечивают интерполирование по-верхности по четырем кривым (Рис 4.2).

Допустим, заданы четыре граничные кривые P(u,0),P(u,1),P(0,v)иP(1,v). Линейная поверхность образуется путем линейного объединения этих кривых при вычитании угловых точекP(0,0),P(0,1),P(1,0)иP(1,1),которые при суммировании кривых учитываются дважды:

S(u,v) =P(u,0) (1-v)+P(u,1) v+P(0,v) (1-u)+P(1,v) u –P(0,0)  (1-u)  (1-v)–P(1,0) u  (1-v) -P(0,1)  (1-u)  v –P(1,1)  u v. (4.3)