§1. Интерполирование кривых и поверхностей с помощью локальных сплайнов

У локальных сплайнов на каждом элементарном участке сетки полностью заданы все геометрические условия для построения соответствующего участка сплайна и его форма не зависит от условий на других участках. Рас-смотрим более подробно построение локальных сплайнов по однократным и двукратным узлам.

1.1 Построение сплайнов по однократным узлам

Допустим, плоская кривая у(х) задана набором значений у(x_i) = у_i в узлах x_i (i = 0,1 ,...,n). Необходимо построить интерполяционный сплайн наименьшей степени, прохо-дящий через узлы x_i : S(x_i) = у_i, (i = 0,1 ,...,n). Если кривая является пространственной, то наряду с функцией у(х) должна быть задана зависимость z(x). Задача интерпо-лирования по оси z решается точно также , как и по оси у.

Рассмотрим отрезок [x_i,x_i+1]. В его граничных точках заданы по одному геометрическому условию: у(x_i) = у_i , у(x_i+1) = у_i+1 . Поскольку узлы являются однократными, то наименьшая степень полинома S_i+1(x) (i = 0,1 ,...,n-1) равна единице. Как показано в Главе 2 (2.11), интерполяцион-ный многочлен Лагранжа для S_i+1(x) имеет вид:

S_i+1(x)= у_i (x_i+1 –x)/(x_i+1 -x_i)+ у_i+1 (x-x_i) /(x_i+1 -x_i ). (3.1 а)

В векторной форме:

S_i+1(x) = (Ф(x),Y);

Ф(x) = ( (x_i+1 –x) / (x_i+1 -x_i), (x-x_i) / (x_i+1 -x_i ));Y= ( у_i , у_i+1 ).

73

Переходя к безразмерной переменной t=(x-x_i) / (x_i+1 -x_i ), у которой t(x_i)=0; t(x_i+1)=1, для функций Лагранжа и полинома S_i+1(t) получим следующие выражения:

Одномерный сплайн рассмотренного вида является лома-ной, приближённо заменяющей исходную кривую у(х).

Интерполирование двухмерными сплайнами поверх-ностей по однократным узлам производится аналогично. Допустим, поверхность z(x,у), которая задана набором зна-чений z(x_i,у_j) = z_{i j} в узлах двухмерной сетки (x_i,у_j) (i = 0,1,...,n; j=0,1,...,m). Необходимо построить интерполяци-онный сплайн S(x,y) наименьшей степени, проходящий че-рез узлы (x_i,у_j) : S(x_i,у_j) = z_{i j} (i = 0,1 ,..., n; j = 0,1 ,..., m).

Рассмотрим прямоугольный участок сетки [x_i,x_i+1] [у_j, y_j+1]. В его граничных точках заданы по одному геомет-рическому условию: z(x_i ,у_j )= z_ij , z(x_i+1 ,у_j ) =z_{(i+1) j} , z(x_i , у_j+1)= z_{i (j+1)} , z(x_i+1 ,у_j+1) =z_(i+1)(j+1) . Минимальные степени квадратичной формы S_(i+1),_(j+1)(x,y) по переменным х,у рав-ны единице. Как показано в Главе 2 (2.22), явное решение для S_(i+1),_(j+1)(x,y) при помощи функций Лагранжа имеет вид:

S_(I+1),(j+1) (x,y) =Ф(x) ZФ(у); (3.2 а)

Ф(x)=((x_i+1 –x) / (x_i+1 -x_i), (x-x_i) / (x_i+1 -x_i ));

Ф(у)=((y_j+1 –y) / (y_j+1 -y_j), (y-y_j) / (y_j+1 -y_j));

Переходя, как и в одномерном случае, к безразмерным переменным t_х= (x - x_i)/(x_i+1 - x_i ) и t_у = (у - y_j)/(y_j+1 - y_j ) и

74

используя матрицу М_Л , решение для S_(i+1),_(j+1)(x,y) можно представить в виде:

Построенный двухмерный сплайн S(x,y) = { S_(i+1),_(j+1)(x,y), (i = 0,1 ,..., n-1; j = 0,1 ,..., m-1) } задаёт множество про-странственных четырёхугольников (в общем случае –не-плоских), заменяющих исходную поверхность z(x,у) таким образом, что они совпадают с заданными значениями в уз-лах интерполирования (x_i ,у_j).

Преимуществами полученных линейных сплайнов явля-ются простота расчётов по ним, отсутствие осцилляций в промежутках между узлами. Основным недостатком яв-ляется разрыв первой производной на границах сплайнов – излом в точках сопряжения отрезков ломаной или по линии сопряжения пространственных четырёхугольников. Это значительно ухудшает внешний вид кривых и по-верхностей и зачастую является недопустимым при даль-нейшей их обработке. В то же время разработаны и широко используются на практике различные методы сглаживания стыков такого рода.