Глава 3. Моделирование кривых и поверхностей при помощи сплайнов

При интерполяции кривых и поверхностей алгебра-ическими полиномами и квадратичными формами с возрас-танием числа геометрических условий растут и их степени. Отличительной особенностью полиномов и квадратичных форм высоких степеней является их осцилляция в про-межутках между узлами интерполирования. Это приводит к тому, что соответствующие кривые и поверхности имеют ”волнистый” вид. Он, как правило, неприемлем для разра-ботчиков по двум причинам: 1) исходный интерпо-лируемый объект имеет довольно гладкую поверхность, 2) образующаяся волнистая поверхность неудовлетво-рительна с эстетической точки зрения. Также многочлены высоких степеней чувствительны к ошибкам вычислений. С целью устранения этих недостатков для областей, содержащих большое число узлов, используют не один полином (квадратичную форму) высокой степени, а несколько таких объектов невысокой степени. Непрерывность таких кусочно-полиномиальных объектов, которые называют сплайнами, и их производных обеспечивается за счёт того, что их составляющие с нужной степенью гладкости m соединяются между собой в местах стыков. Случай m=0 соответствует непрерывному соединению полиномов (квадратичных форм) - без разрывов. При m=1 непрерывны первые производные, т.е. в местах соединения углы наклона касательных слева и справа также равны. В основном на практике используют полиномы и квадратичные формы нечётных степеней k (чаще всего – 3, реже – 1) , имеющие чётное число коэффициентов. Это обусловлено тем, что при однотипных геометрических условиях в краевых точках элементарных участков (отрезок, прямоугольник) их общее число также чётно. Высокие степени в сплайнах используются редко,

71

поскольку у них проявляются те же недостатки, что и у многочленов, основной из которых - осцилляция.

С помощью сплайновой интерполяции решают различ-ные типы задач. Рассмотрим основные из них.

I. Построение локальных сплайнов.

Для заданной кривой (поверхности), уравнение которой имеет неалгебраический вид (например, тригонометри-ческий), построить интерполирующую кусочно-полиноми-альную кривую (поверхность), состоящую из многочленов (квадратичных форм) минимально возможной степени по геометрическим условиям в узлах заданной кратности m . Соответствующие одномерные и двумерные сплайны назы-вают локальными, поскольку их построение на каждом элементарном участке выполняется только по геомет-рическим условиям в его краевых точках и не зависит от условий на других участках.

II. Построение интерполяционных сплайнов.

Построить с помощью сплайнов параметрическую кусочно-полиномиальную кривую (поверхность), про-ходящую через заданные узловые точки таким образом, чтобы во внутренних узлах выполнялась гладкость m-ой степени. Сплайны такого вида называют интерполя-ционными. Они не являются локальными, поскольку изме-нение положения одной точки вызывает изменение всей его формы.

Локальные сплайны фактически представляют собой набор отдельных полиномов (в случае поверхности – квад-ратичных форм), наборы коэффициентов которых находят-ся независимо один от другого по заданным в узлах гео-метрическим условиям. Поэтому для построения локаль-ных сплайнов используются те же методы, что и для обыч-ных полиномов и квадратичных форм.

При моделировании с помощью интерполяционных сплайнов наборы коэффициентов составляющих их поли-номов (или квадратичных форм) связаны между собой.Сле-

72

довательно, для их построения необходимо использовать методы, отличные от рассмотренных выше методов, при-меняемых для обычных алгебраических полиномов и квадратичных форм.