МАШИННАЯ ГРАФИКА И ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ.ВВЕДЕНИЕ

В технике, как и в других видах деятельности, основную часть информации человек воспринимает в виде зрительных образов - это чертежи, схемы, модели, графики, художественные изображения. Все эти виды изображений называются графической информацией. Изображения – не только самый ёмкий, но и самый доступный вид информации, поскольку их восприятие требует значительно меньших усилий от пользователя. Упрощённое усвоение графических образов обусловлено особенностями взаимодействия мозга и органов зрения.

Машинная графика - это комплекс математических, программных и технических средств для автоматизированной подготовки, преобразования, хранения и воспроизведения графической информации с помощью ЭВМ.

Машинная графика занимает ключевое место во всех САПР, поскольку графическая информация используется практически на всех стадиях проектирования. В современных САПР весь комплекс средств машинной графики обеспечивает непрерывное графическое сопровождение процесса проектирования.

Естественным развитием машинной графики является визуализация - комплекс средств для создания, преобразования и воспроизведения реалистичных изображений объектов, в которых обеспечивается близкое к естественному освещение, наличие теней, прозрачность, цветовое подобие, удаление невидимых линий, и т. д.

Геометрической моделью называется совокупность математического и программного описаний объектов, которые воспроизводят требуемые его геометрические свойства. Практически используют как 2 - мерные (или плоские) , так и 3 - мерные (пространственные) модели объектов. В трёхмерном случае в зависимости от решаемых

4

задач используют: 1) каркасные модели, описывающие лишь остов конструкции, 2) поверхностные, включающие также грани объекта, 3) твердотельные, описывающие и объёмные свойства объектов.

Геометрическое моделирование - раздел машинной графики, в котором рассматривается построение геометрических моделей объектов. Исходными данными в задачах геометрического моделирования является набор условий, выражающих требуемые геометрические, физико-механические, эстетические и др. свойства проектируемого объекта.

Основными задачами геометрического моделирования являются следующие.

1. Построение геометрических объектов. Необходимо для описания с помощью моделей формы и размеров конструкции и её элементов, а также исследования её геометрических и физических свойств.

2. Преобразование геометрических объектов. Модели в САПР изменяют в процессе проектирования, исходя из эксплуатационных, прочностных, эстетических и других требований к разрабатываемым конструкциям.

3. Построение проективных изображений. Объёмные трёхмерные модели могут быть отображены устройствами ввода-вывода только в виде плоских проекций, поэтому в зависимости от вида требуемых изображений применяют те или иные способы проецирования объектов.

4. Построение разбиений плоских и пространственных объектов. Поверхности и тела сложной формы разбивают на элементарные геометрические фигуры (треугольники, четырёхугольники) и тела(тетраэдры, параллелепипеды) для последующей визуализации конструкции, а также её прочностных расчётов.

5. Изменение форматов представления объектов. На практике моделирование,а также и последующая обработка

5

моделей производятся при помощи стандартных пакетов прикладных программ. Для унификации представления моделей в них приняты специальные форматы , которые регламентируют форму представления геометрии объектов в памяти ЭВМ. Определение возможности и практическое осуществление переходов от одного вида формата представления к другому является отдельной задачей геометрического моделирования, решение которой существенно расширяет возможности по обработке моделей.

Основные требования к методам, применяемым при геометрическом моделировании:

1. Максимальное приближение формы создаваемого объекта к исходным требованиям. Кривые либо поверхности должны проходить через заданные точки либо достаточно близко к ним, удовлетворять таким геометрическим понятиям, как гладкость, радиус кривизны, величины площадей, объемов и т. д.

2. Системотехнические требования. Модель должна быть удобной для её использования в составе тех или иных САПР. Для этого:

а) построение изображений желательно осуществлять стандартными средствами машинной графики;

б)расчеты математических, геометрических, прочностных и других характеристик модели также должны производиться при помощи стандартных пакетов прикладных программ.

3. Эргономические требования. Методы должны быть удобны для самого пользователя с точки зрения оценки получаемых решений, варьирования геометрических и дру-гих параметров и т. д.

Особенности зрительного восприятия действительных объектов таковы, что в некоторых ситуациях правильно геометрически построенные изображения воспринимаются как недостаточно реалистические. В изобразительном искусстве разработан целый ряд приёмов исправления

6

изображений (формы, освещённости, глубины объектов), позволяющих улучшить их субъективное восприятие. Часть из этих приёмов применяется и в машинной графике.

Поскольку уровень передачи геометрических, цветовых и яркостных характеристик действительных объектов ограничен возможностями применяемых вычислительных средств и устройств ввода-вывода ( по вычислительной мощности, памяти, скорости передачи информации ), то основной задачей визуализации является создание такого искусственного изображения, которое бы субъективно воспринималось как близкое к оригиналу. При этом действительные различия между ними могут быть достаточно большими.

При разработке технических изображений задача геометрического моделирования и последующей визуализации упрощается тем, что в силу технологических особенностей в их очертаниях преобладают простые элементы. Среди кривых – это отрезки прямых, окружности, многоугольники и т.д. Среди поверхностей и тел – многогранники, эллипсы, параллелепипеды, конусы и др. Эти простейшие составляющие изображений называют графическими примитивами. Литерами называют буквы, цифры и специальные знаки, не являющиеся графическими объектами. Как правило, для повышения скорости эти элементы генерируются специальными блоками графических процессоров. Совокупность этих элементов обычно называют примитивами.

Основными методами конструирования сложных объектов из примитивов являются следующие .

1. Логические. Сложный объект строится из более простых с помощью логических операций объединения, пересечения и др.

2. Интерполяция и аппроксимация. Объект (кривая, поверхность) строится по заданным геометрическим условиям – опорным точкам , значениям производных ,

7

кривым и т.д. Интерполяцией называют построение, при котором геометрические условия выполнены точно, аппроксимацией – приближённое их выполнение.

3. Кинематические методы. Исходному объекту задаётся некоторое перемещение в пространстве (вращательное, поступательное). В качестве результирующего объекта принимается след, который оставляет данный объект. При этом точка порождает кривую, кривая – поверхность, поверхность – тело. “Вытягивание” исходных объектов вдоль оси называется экструзией.

4. Методы понижения размерности. Искомые объекты получают как пересечения исходных. В том случае, если один из объектов – плоскость, результат такой операции называется сечением. Если пересекают два тела, то в качестве нового объекта может быть принята как поверхность, по которой они пересекаются, так и тело – результат пересечения.

Графическая информация, полученная на этапе геометрического моделирования в САПР и хранящаяся в памяти ЭВМ, представляет собой, как правило, математическое описание объекта при помощи некоторого базового набора объектов и операций над ними. Такое представление называется векторным в отличие от растрового (пиксельного), при котором изображение объекта создается за счёт раскрашивания отдельных точек на экране - пикселей. Векторное представление позволяет автоматически выполнять широкий спектр операций с объектом - повороты, переносы, масштабирование, вычисление различных проекций, разрезов и т.д. Как правило, эти преобразования выполняются с помощью матричных либо логических операций над данными, представленными в однородных координатах. Эти операции часто реализуются аппаратно. В растровую форму изображение объектов переводится только непосредственно перед выводом.

8

В зависимости от функционального назначения на практике используется много разнообразных устройств для вывода изображений, построенных с помощью машинной графики. Это перьевые графопостроители, точечно-матричные, электростатические и лазерные печатающие устройства, фильмирующие устройства, дисплеи на электронно-лучевой трубке (ЭЛТ).

Наиболее распространенными устройствами являются дисплеи на ЭЛТ. Основными их видами являются:

1. запоминающие с прямым копированием изображения (рисование отрезками);

2. векторные с регенерацией изображения (рисование отрезками);

3. растровые сканирующие дисплеи.

В настоящее время в одном дисплее используют, как правило, несколько методов генерации изображений.

Именно потребности машинной графики во многом сти-мулируют и определяют дальнейшее развитие и совершен-ствование программного обеспечения, вычислительных устройств и аппаратных средств ввода – вывода графи-ческой информации.

9

Глава 1. Основные виды геометрических объектов

В МАШИННОЙ ГРАФИКЕ

Любой сложный геометрический объект может быть представлен в виде набора точек, линий, поверхностей и объёмных тел.

Точка является простейшим геометрическим объектом, не имеющим геометрических размеров. Её можно назвать объектом нулевой размерности. В любой системе координат положение точки полностью определяется указанием величин всех её координат. Например, в плоской декартовой системе – это значения (x,y), в пространственной – набор величин(x,y,z).

Линия может быть представлена как траектория движения некоторой точки. У неё возникает один геометрический размер, называемый длиной (которая может быть как конечной, так и бесконечной). Поэтому линия является одномерным геометрическим объектом (1d- объектом). Способ задания линии зависит, как правило, от способа её порождения и не является единственным.

Поверхность можно представить в виде следа, который оставляет некоторая линия (в общем случае – переменной формы) при задании ей дополнительного перемещения. Помимо длины у неё появляется второе измерение – ширина. Таким образом, поверхность является двухмерным (2d- ) объектом.

Телом называется трёхмерный объект (3d- объект), имеющий длину, ширину и высоту.

В геометрических конструкциях, рассматриваемых в САПР, отсутствуют специфические математические абстрактные объекты ( типа ленты Мёбиуса, бутылки Клейна ) , описание которых требует использования

10

специальных подходов. Поэтому везде в дальнейшем подразумевается, что рассматриваемые объекты не имеют геометрических особенностей.

§1. Основные аналитические способы задания кривых

1. Явный способ задания. В качестве независимой переменной выбирается, как правило, одна из координат, например, x, а две другие задают в виде функций от x:

y = y(x),

z = z(x), x₀ < x < x₁ . (1.1)

Пример 1.

Зависимости задают участок параболы, лежащей в плоскости y = z.

2. Неявный способ задания. Координаты точек задаются системой двух уравнений, описывающих поверхности:

f (x,y,z) = 0;

g(x,y,z) = 0. (1.2)

Пример 2.

Приведенная выше система уравнений определяет эллипс с полуосями (а,b) в плоскости z = 0, который образован пересечением эллипсоида с полуосями (а,b,с) с данной плоскостью.

11

3. Параметрический способ задания. В качестве независимой переменной выбирается некоторый параметр t. Все координаты точек на кривой выражаются через него:

x = x(t);

y = y(t); t₀ < t < t₁; (1.3)

z = z(t).

С помощью параметрического задания можно единой формулой описывать многозначные функции, что невозможно при явном задании. Параметру t зачастую задаётся некоторый физический смысл, например, времени или угла поворота.

Пример 3.

Зависимости описывают один виток спирали радиуса R с центральной осью z и шагом, равным 2.

§2. Виды кривых

1. Кривые, представимые в алгебраическом виде.

Кривая называется алгебраической степени n, если она может быть представлена в виде (1.2), где f(x, y, z) и g(x, y, z) – многочлены с максимальной степенью n. Наиболее употребительны кривые 1^й и 2^й степени.

а) Кривые приn = 1 –прямыеобразованы пересечением двух плоскостей:

б) Кривые второго порядка( n = 2 )– конические сечения

12

– могут быть представлены как различные сечения конуса с круговой образующей.

2.Трансцедентные кривые.

Кривые, не представимые в алгебраическом виде.