Лекция 6

Пересечение плоскости с многогранными и кривыми поверхностями

Результатом пересечения плоскости и многогранной поверхности является в общем случае плоская ломаная линия, которая может быть построена по ее вершинам или сторонам. Первый вариант построения сводится к задаче пересечения прямой с плоскостью, т. е. пересечению ребер многогранника с заданной плоскостью: 1 = SA ∩ Σ, 2 = SB ∩ Σ, 3 = SA ∩ Σ. Второй вариант к пересечению плоскостей,т. е. граней многогранника с плоскостью сечения:p = SAB ∩ Σ, l = SAC ∩ Σ, q = SBC ∩ Σ (рис.42, а).

Выбор способа построения определяется в зависимости от графических условий конкретной задачи.

Рис. 42

На рис. 42, бпоказано построение на комплексном чертеже линии пересечения фронтально проецирующей плоскости с поверхностью пирамиды. Точки1, 2и 3построенного треугольника определены как точки пересечения ребер пирамидыSA,SB и SC с заданной плоскостьюΣ, т. е. задача решена с использованием первого варианта построения.

В том случае, если плоскость сечения занимает общее положение относительно плоскостей проекций, рекомендуется преобразовать ее в проецирующую, используя один из рассмотренных ранее способов преобразования чертежей, так как в общем положении не всегда удается сразу оценить положение плоскости сечения относительно заданной поверхности и вид сечения. Например, если задана плоскость и треугольная пирамида (четырехгранник) в общем положении, то сразу по чертежу трудно оценить, какая фигура получается в пересечении – треугольник или четырехугольник.

В результате пересечения плоскости с кривыми поверхностями получаются плоские кривые линии. Рассмотрим эту тему на примере пересечения плоскости с поверхностями вращения:цилиндрической, конической и сферической, которые являются поверхностями второго порядка. Следовательно, в пересечении их с плоскостью получаются кривые второго порядка –эллипс,гипербола ипарабола. И как частный случай –точка, прямая и окружность[2].

Пересечение цилиндрической поверхности вращения с определенным образом ориентированными относительно нее проецирующими плоскостями показаны на фронтальных проекциях комплексного чертежа (рис. 43, аиб).

1. Плоскость (Δ) пересекает все образующие цилиндрической поверхности, т. е. не параллельна ни одной из них. Результатом пересечения является плоская, замкнутая кривая линия второго порядка –эллипс (см. рис. 43,а). В частном случае (Δi) имеем –окружность.

2. Плоскость (Ω) параллельна образующим цилиндрической поверхности, т. е. не пересекает ни одну из них. В этом варианте в пересечении получаемдве прямыеmиn(см. рис. 43,б). Если заданная плоскость касательная к поверхности, то в результате имеемодну прямую.

Рис. 43

Пересечение конической поверхности вращения с определенным образом ориентированными относительно нее проецирующими плоскостями показаны на фронтальных проекциях комплексного чертежа (рис. 44 а,бив).

1. Плоскость (Γ) пересекает все образующие конической поверхности, т. е. она не параллельна ни одной из них. В этом варианте сечение представляет собой плоскую, замкнутую кривую линию второго порядка –эллипс(см. рис. 44,а). В частных случаях имеемокружность(Γi) иточку S(ΓS).

2. Плоскость (Λ) параллельна одной образующей конической поверхности (l). В этом случае сечение представляет собой плоскую, незамкнутую кривую линию второго порядка – параболу, так как заданная плоскость пересекает только одну из двух пол конической поверхности, расположенных по разные стороны от вершины (S)(см. рис. 44,б). В частном случае, когда плоскость проходит через вершину конической поверхности (ΛS) получаем в пересечениипрямую(l)

3. Плоскость (Σ) параллельна двум образующим конической поверхности, например,qиp. В этом варианте в сечении получается плоская, незамкнутая кривая линия второго порядка –гипербола, состоящая из двух ветвей, так как заданная плоскость пересекает обе полы конической поверхности (см. рис. 44,в). В частном случае имеемпрямые(qи p), если плоскость проходит через вершину конической поверхности (ΣS).

При пересечении плоскости со сферой получается окружность, которая вырождается в точку в момент касания плоскости и сферы. Если плоскость проходит через центр сферы, то в пересечении получится окружность, диаметр которой равен диаметру сферы. Такую окружность называют меридианом.

Рис. 44