Лекции 1-9 / Лекция 3

Лекция 3

ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ФИГУР

В начертательной геометрии из взаимного расположения геометрических фигур наибольший интерес представляет их принадлежность друг другу и пересечение, а также частные случаи взаимного расположения, например, скрещивающиеся и параллельные прямые, эквидистантные линии и поверхности, плоскости касательные к поверхности.

Взаимная принадлежность геометрических фигур

Принадлежность точки и линии является одним из основных свойств параллельных проекций, которое позволяет сформулировать условие принадлежности точки и поверхности и далее линии и поверхности.

Точка принадлежит поверхности, если она принадлежит линии этой поверхности. Следовательно, для построения точки на поверхности необходимо сначала построить линию на ней, а затем точку, принадлежащую этой линии.

На рис. 18 показана точка A, принадлежащая плоской, конической и сферической поверхностям, так как она задана на линиях этих поверхностей: на плоскости Γ(p ∩ l) точка А принадлежит прямой p, на конической поверхности образующей SK, а на сферической принадлежит окружности q.

Линия принадлежит поверхности, если все ее точки принадлежат соответствующим линиям этой поверхности. На рис. 19 показана линия, расположенная на цилиндрической поверхности Σ. Она задана дискретным рядам точек (A, B, C, D, E, F), принадлежащих образующим этой поверхности.

Рис. 18

Рис. 19

Примеры принадлежности линии различным поверхностям показаны на комплексных чертежах (рис. 20):

• прямая AB принадлежит плоскости Σ(m ∩ n) (рис. 20, а);

• прямая SK - конической поверхности (рис. 20, б);

• эллипс q - цилиндрической поверхности (рис. 20, в).

Рис. 20

Пересечение линий

Необходимым и достаточным условием пересечения линий является наличие общей для них точки, например, A = p ∩ l (рис 21).

Рис. 21

Если общая точка не задана, то необходимым условием пересечения линий является их принадлежность одной поверхности, так как только в этом случае они имеют возможность пересечься. Это важное положение потребуется в дальнейшем для построения общих элементов пересекающихся геометрических фигур, например, для построения точки пересечения прямой с плоскостью и др.

Перпендикулярные прямые

Частным случаем взаимного расположения прямых является их перпендикулярность. Это имеет отношение не только к пересекающимся, но и к скрещивающимся прямым, так как угол между ними измеряют углом между пересекающимися прямыми, которые параллельны заданным скрещивающимся прямым.

Для того чтобы научиться строить перпендикулярные прямые на комплексном чертеже, докажем следующую теорему: прямой угол, одна сторона которого параллельна плоскости проекций, а другая ей не перпендикулярна, проецируется в натуральную величину.

Доказательство проведем относительно горизонтальной плоскости проекций (рис. 22). По условию прямая h (горизонталь) пересекает прямую l и скрещивается с p под углом 90⁰. При этом она перпендикулярна плоскости Σ, образованной пересекающимися прямыми l и AA₁. В этой плоскости расположены также прямая p и горизонтальные проекции l₁ и p₁ заданных прямых. Следовательно, горизонталь h перпендикулярна проекциям l₁ и p₁. Поскольку по условию h || h_1, то h₁  l₁ и h₁  p₁ , что и требовалось доказать (рис. 22, а).

Для построения на комплексном чертеже перпендикулярных прямых, необходимо одну из них расположить параллельно плоскости проекций, а другую в общее положение, соблюдая перпендикулярность их соответствующих проекций. Например, на рис. 22, б прямая h горизонталь, а l и p прямые общего положения. При этом горизонтальные проекции их перпендикулярны, т. е. h₁  l₁ и h₁  p₁. Это говорит о том, что в пространстве прямая h пересекает l и скрещивается с прямой p под углом 90⁰.

Рис. 22

Аналогичные рассуждения можно провести относительно фронтальной и профильной плоскостей проекций. В этих случаях одной из сторон прямого угла должна быть фронталь или прямая профильного уровня, а другой стороной угла прямая общего положения.

Рис. 23

На рис. 23 приведены примеры перпендикулярных прямых на комплексных чертежах скрещивающихся f и m (рис. 23, а), пресекающихся f и n (рис. 23, б) , p и q (рис. 23, в).

Особые линии поверхностей

Среди множества линий, которые можно построить на поверхности, имеются семейства особых линий, которые занимают частное положение относительно плоскостей проекций. Рассмотрим два типа особых линий поверхностей:

• линии уровня

• линии одинакового наклона.

Примеры построения прямых уровня – горизонтали h и фронтали f, принадлежащих плоской поверхности, заданной пересекающимися прямыми m и n, приведены на рис. 24, а. На сферической поверхности окружности l, p и q соответственно линии горизонтального, фронтального и профильного уровня (рис. 24, б).

Рис. 24

Линию поверхности, касательные, в каждой точке которой образуют равные углы с плоскостью проекций, называют линией одинакового наклона. На рис. 25, а показана линия одинакового наклона цилиндрической поверхности к горизонтальной плоскости проекций – цилиндрическая винтовая линия (см. лекция 8) и прямые одинакового наклона плоскости треугольника (рис. 25, б).

Рис. 25

С практической точки зрения особое значение имеют прямые наибольшего наклона плоскости, т. е. прямые, образующие наибольшие углы с плоскостями проекций. При помощи таких прямых, например, можно определить углы наклона плоскости общего положения к плоскостям проекций.

По отношению к горизонтальной плоскости проекций прямая наибольшего наклона является прямой ската, которая представляет собой траекторию материальной точки, свободно катящейся по плоскости под действием силы тяжести.

Для построения прямых наибольшего наклона плоскости на комплексном чертеже докажем следующую теорему прямые наибольшего наклона плоскости перпендикулярны ее соответствующим прямым уровня.

Докажем, например, что прямая ската перпендикулярна горизонталям плоскости, для чего из точки A на плоскости Γ проведем прямую AB перпендикулярно горизонтали h и докажем, что угол (α) наклона прямой AB к горизонтальной плоскости проекций Π₁ является наибольшим (рис. 26, а). Доказательство проведем от противного.

Предположим, что существует угол α', который больше чем α. Этот угол образован прямой AB', принадлежащей плоскости Γ, которая является наклонной по отношению к горизонтали h. Для опровержения высказанного предположения рассмотрим прямоугольные треугольники ABA₁ и AB'A₁ (рис. 26, а, б), в которых гипотенуза AB и катет A₁B одного треугольника меньше соответственно AB' и A₁ B' другого треугольника, так как AB и A₁B перпендикуляры к горизонтали h, а AB' и A₁B' - наклонные. Следовательно, угол β  β'. И поскольку α + β = 90⁰ и α' + β' = 90⁰ , то угол α  α'.

Рис. 26

Таким образом, доказано, что угол α наибольший из всех возможных и поэтому AB является прямой наибольшего наклона плоскости Γ к горизонтальной плоскости проекций Π₁.

Рис. 27

На рис. 27 приведены примеры построения на комплексном чертеже прямых наибольшего наклона MN и KL, расположенных соответственно в плоскостях Γ(p ∩ q) и ABC. Прямая MN, построенная в плоскости Γ перпендикулярна ее горизонтали h, является прямой ската, а KL, построенная в плоскости ABC, является прямой наибольшего наклона к фронтальной плоскости проекций.

Вопросы для самопроверки

1. Как построить на комплексном чертеже точку, принадлежащую некоторой поверхности?

2. Может ли точка, расположенная вне контура треугольника, принадлежать плоскости этого треугольника?

3. Где будет расположена горизонтальная проекция точки, если она задана на экваторе сферы?

4. При каком условии можно утверждать, что линии на комплексном чертеже пересекаются?

5. Что определяют однозначно две скрещивающиеся прямые?

6. Как определить расстояние между скрещивающимися прямыми?

7. Сформулируйте теорему о проецировании прямого угла?

8. Сколько прямых частного положения можно провести на комплексном чертеже через заданную точку перпендикулярных к прямой общего положения?

9. Можно ли спроецировать прямой угол в натуральную величину одновременно на две плоскости проекций?

10. С каких проекций следует начинать построение фронтали и горизонтали в плоскости общего положения?

11. Какие прямые плоскости называют прямыми наибольшего наклона?

12. Как построить прямую ската?

13. Что надо сделать для определения угла наклона плоскости общего положения к фронтальной плоскости проекций?

14. Если заданы две прямые профильного уровня своими проекциями на фронтальную и горизонтальную плоскости, то можно ли утверждать, что они параллельны?

6