Лекции 1-9 / Лекция 2

Лекция 2

ЗАДАНИЕ И ИЗОБРАЖЕНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ФИГУР НА КОМПЛЕКСНОМ ЧЕРТЕЖЕ

Геометрическую фигуру (линию или поверхность) считают заданной, если исходные условия позволяют однозначно решить вопрос о принадлежности ей любой точки пространства.

Минимальное количество условий, задающих геометрическую фигуру, называют ее определителем. Он содержит геометрическую и алгоритмическую части. Первая включает в себя точки и линии, а вторая закон образования геометрической фигуры. Например, две точки, фиксированные в пространстве, являются определителем прямой линии (рис. 7, а). Если задать точку и указать направление ее прямолинейного движения, то определяется также прямая линия (рис. 7, б).

Рис. 7

В общем случае на комплексном чертеже геометрическая фигура задается проекциями геометрической части определителя при указании алгоритма ее образования.

На рис. 8 приведены примеры задания прямой: двумя точками A и B (рис. 8, а) и точкой С (геометрическая часть определителя) и направлением ее движения s (алгоритмическая часть) (рис. 8, б).

Рис. 8

Геометрическая фигура, заданная на комплексном чертеже своим определителем в большинстве случаях ненаглядна. Для придания ей наглядности прибегают к построению чертежа с избыточной графической информацией. Например, прямую изображают множеством точек, плоскость пересекающимися прямыми.

Более сложные поверхности задают на комплексном чертеже очерками, т. е. линиями, которые ограничивают область проекции поверхности.

Рис. 9

На рис. 9 приведены примеры изображения на комплексном чертеже плоскости заданной

• определителем – тремя точками A, B и C (рис.9, а)

• точкой A и прямой l (рис. 9, б)

• двумя пересекающимися прямыми l и p (рис. 9, в)

• треугольником ABC (рис. 9, г).

Рис. 10

На рис. 10 приведены примеры задания на комплексном чертеже сложных поверхностей своими очерками

• многогранные поверхности четырехгранная пирамида (тетраэдр) (рис. 10, а) и треугольная призма (рис. 10, б)

• поверхности вращения цилиндрическая (рис.10, в), коническая (рис. 10, г), сферическая (рис. 10, ж) и торовая (рис. 10, и)

• линейчатые эллиптические поверхности коническая (рис. 10, д) и цилиндрическая (рис. 10, е).

Поверхность, образованную вращением линии (образующей) вокруг прямолинейной оси называют поверхностью вращения.

Линейчатой называют кривую поверхность, которая может быть образована движением прямолинейной образующей (см. рис. 10, в, г, д, е).

Более подробно об ортогональных проекциях линий и поверхностей рекомендуется ознакомиться в учебной литературе [1, 2].

Винтовые линии и винтовые поверхности ввиду важности их с практической точки зрения будут подробно рассмотрены в конце данного курса лекций, так как на данном этапе изучения начертательной геометрии у студентов нет еще определенных графических навыков и соответствующих знаний.

РАСПОЛОЖЕНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ФИГУР ОТНОСИТЕЛЬНО ПЛОСКОСТЕЙ ПРОЕКЦИЙ

Различают общее и частное положение геометрических фигур относительно плоскостей проекций. Под общим понимают произвольное расположение геометрической фигуры. Частное – это особое положение, при котором проекции фигуры имеют определенные свойства ее характеризующие. Например, проекция отрезка прямой равна величине самого отрезка. Очевидно, в этом случае прямая должна быть параллельна плоскости проекций.

Рис. 11

На рис. 11 приведены комплексные чертежи отрезков прямых AB и CD. Прямая AB занимает общее положение относительно плоскостей проекций, так как нет никаких особенностей в изображении ее проекций, а прямая CD частное, которое характеризуется равенством ее проекций, т. е. C₁D₁ = C₂D₂. Это говорит о том, что прямая CD расположена под равными углами относительно горизонтальной (α) и фронтальной (β) плоскостей проекций, так как C₁D₁ = CD cos α, а C₂D₂ = CD cos β. Следовательно α = β.

Проецирующие геометрические фигуры

Геометрические фигуры, направление которых совпадает с направлением проецирования, называют проецирующими. Ими могут быть не только прямая, но и поверхности, содержащие семейства параллельных прямых, которые можно расположить в направлении проецирования. Такими поверхностями являются: плоская (Λ), призматическая (Δ) и цилиндрическая (Σ) (рис. 12).

Рис. 12

Проецирующие геометрические фигуры имеют следующие свойства своих проекций:

1. На соответствующей плоскости проекций, проецирующая геометрическая фигура изображается в виде более простой фигуры, т.е. имеет вырожденную проекцию, так как прямые семейства параллельных прямых геометрической фигуры изображаются на плоскости проекций в виде точек. Например, каждая прямолинейная образующая цилиндрической поверхности Σ проецируется на плоскость Π₁ в точку. Совокупность этих точек определят кривую линию Σ₁ (см. рис. 12).

2. На комплексном чертеже проецирующая геометрическая фигура может быть задана одной своей вырожденной проекцией, так как в этом случае однозначно решается вопрос о принадлежности ей любой точки пространства. Например, прямая l может быть задана проекцией l₁, а плоскость Λ проекцией Λ₁ (см. рис. 12).

На рис. 13 представлены комплексные чертежи горизонтально проецирующих геометрических фигур: прямой l, поверхностей: плоской Λ, призматической Δ и цилиндрической Σ.

Рис. 13

По отношению к фронтальной плоскости проекций, рассматриваемые геометрические фигуры называют фронтально проецирующими, а к профильной – профильно проецирующими.

На рис. 14 приведены чертежи фронтально проецирующих фигур: прямой p, плоскостей ABC и Γ. Плоскость Γ задана вырожденной фронтальной проекцией Γ₂.

Рис. 14

Геометрические фигуры уровня

Геометрические фигуры, все точки которых расположены на одинаковом расстоянии от плоскости проекций, называют фигурами уровня. Очевидно, ими могут быть только плоские линии (в том числе прямая) и плоскость. При этом прямая и плоскость уровня являются фигурами параллельными соответствующим плоскостям проекций.

На рис. 15 показаны геометрические фигуры уровня относительно горизонтальной плоскости проекций: кривая линия l, прямая AB и плоскость KLM.

Рис. 15

Геометрическая фигура уровня имеет следующее важное свойство своих проекций:

- на соответствующую плоскость проекций геометрическая фигура уровня изображается в натуральную величину, а на другую плоскость проекций в виде прямой, расположенной перпендикулярно линиям связи.

Доказательство этого свойства рекомендуется провести самостоятельно, используя при этом знания элементарной геометрии.

На рис. 16 представлены комплексные чертежи окружности l, прямой АВ и плоскости KLM, которые являются фигурами горизонтального уровня. Величины горизонтальных проекций в этих примерах равны величинам самих геометрических фигур в пространстве, т. е. l₁ = l, A₁B₁ = AB и K₁L₁M₁ = KLM.

Рис. 16

По отношению к фронтальной плоскости проекций, рассматриваемые геометрические фигуры называют фигурами фронтального уровня, а профильной – профильного уровня.

Для прямых горизонтального и фронтального уровня используют специальные термины соответственно горизонталь и фронталь.

Рис. 17

На рис. 17 изображены фронталь CD и плоскости фронтального уровня EFG и Λ. Плоскость Λ в данном примере задана одной вырожденной горизонтальной проекцией Λ₁.

Следует отметить, что проецирующие прямые l и p, изображенные на рис. 13 и 14, одновременно параллельны двум другим плоскостям проекций. Например, горизонтально проецирующая прямая l (см. рис. 13) является также фронталью и прямой профильного уровня, вследствие чего ее проекции имеют еще и свойство фигур уровня относительно плоскостей проекций Π₂ и Π₃.

Подобная ситуация возникает у плоскостей уровня (см. рис. 16 и 17), которые перпендикулярны одновременно двум другим плоскостям проекций, т. е. являются проецирующими. Например, плоскость горизонтального уровня (см. рис.16) является также фронтально и профильно проецирующей и, следовательно, ее проекции имеют свойства проецирующих геометрических фигур относительно плоскостей проекций Π₂ и Π₃.

Вопросы для самопроверки

1. Определителем, какого многогранника являются четыре точки, фиксированные в пространстве и не лежащие в одной плоскости?

2. Определителем, какой кривой поверхности являются четыре точки, фиксированные в пространстве и не лежащие в одной плоскости?

3. Почему проецирующую плоскость можно задать на комплексном чертеже одной ее вырожденной проекцией?

4. При каком расположении горизонталь может быть прямой профильного уровня?

6