§ 4. Спин в переменном магнитном поле

Рассмотрим электрически нейтральную частицу, обладающую магнитным моментом и находящуюся в однородном, но переменном (во времени) магнитном поле. Речь может идти как об элементарной (например, нейтрон), так и о сложной (атом) частице. Магнитное поле предполагается настолько слабым, что магнитная энергия частицы в поле мала по сравнению с интервалами между ее уровнями энергии. Тогда можно рассматривать движение частицы как целого при заданном ее внутреннем состоянии.

Пусть s есть оператор «собственного» момента частицы — спина для элементарной частицы или полного момента J для атома. Оператор магнитного момента представим в виде (111,1). Гамильтониан для движения нейтральной частицы как целого записывается в форме

. H=(114,1)

(выписана лишь та часть гамильтониана, которая зависит от спина).

В однородном поле этот оператор не содержит явно координат .Поэтому волновая функция частицы распадается на произведение координатной и спиновой функций. Из них первая есть просто волновая функция свободного движения; нас интересует ниже только спиновая часть. Покажем, что задача о частице с произвольным моментом s может быть сведена к более простой задаче о движении частицы со спином ½ . Для этого достаточно воспользоваться следующим приемом. Именно, вместо одной частицы со спином s

можно формально ввести систему из 2s «частиц» со спином 1/2.

Оператор s при этом представляется в виде суммы операторов спина этих «частиц», а волновая функция — в виде произведения 2s спиноров первого ранга. Гамильтониан (114,1) распадается тогда на сумму 2s независимых гамильтонианов:

H=H_a , H_a =(114,2)

так что движение каждой из 2s «частиц» определяется независимо от других. После того как это сделано, достаточно снова ввести компоненты произвольного симметричного спинора ранга 2s вместо произведений компонент 2s спиноров первого ранга.

§ 5. Плотность тока в магнитном поле

Выведем квантовомеханическое выражение для плотности тока при движении заряженной частицы в магнитном поле. Будем исходить из формулы

(115,1)

определяющей изменение функции Гамильтона распределенных в пространстве зарядов при варьировании векторного потенциала. В квантовой механике ее надо применять к среднему значению гамильтониана заряженной частицы:

H=15,2)

Произведя варьирование И имея в виду, что Н = rot А,

находим

- (115,3)

Член с рА преобразуем, интегрируя по частям:

(интеграл по бесконечно удаленной поверхности, как обычно, исчезает). Интегрирование по частям производим также и в последнем члене в (115,3), воспользовавшись известной формулой векторного анализа

a rot b =- div [ab] + b rot a.

Интеграл от члена с div исчезает, так что остается

В результате окончательно получаем

+-

' Сравнив с (115,1), находим следующее выражение для плотности тока:

j = + (115,4)

Подчеркнем, что хотя это выражение и содержит в явном виде векторный потенциал, оно, как и следовало, вполне однозначно. В этом легко убедиться прямым вычислением, заметив, что одновременно с калибровочным преобразованием векторного потенциала, согласно (111,8), надо произвести также и преобразование волновой функции согласно (111,9).

Легко проверить также, что ток (115,4) вместе с плотностью зарядов р = е||² удовлетворяет, как и следовало, уравнению непрерывности

+div j=0

Последний член в (115,4) дает вклад в плотность тока, происходящий от магнитного момента частицы. Он имеет вид с rot m, где

M== (115,5)

есть пространственная плотность магнитного момента.

Выражение (115,4) представляет собой среднее значение плотности тока. Его можно рассматривать как диагональный матричный элемент некоторого оператора — оператора плотности тока j, Этот оператор проще всего записать в представлении вторичного

квантования, что сводится к замене иоператорами и (причем, согласно общему правилу,должен стоять в каждом члене слева от ). Можно определить и недиагональные матричные элементы этого оператора:

j_nm=+ (115,6)