§ 2 Движение в однородном магнитном поле

Определим уровни энергии частицы в постоянном однородном магнитном поле.

Векторный потенциал однородного поля удобно выбрать здесь не в виде (111,7), а в следующей форме:

A_x =-Hy, A_y =A_z (112,1)

(ось г выбрана в направлении поля). Тогда гамильтониан приобретает вид

(112.2)

Прежде всего замечаем, что оператор s_z коммутативен с гамильтонианом (поскольку последний не содержит операторов других компонент спина). Это значит, что z-проекция спина сохраняется и потому s_z можно заменить собственным значением s_z = σ. После этого спиновая зависимость волновой функции становится несущественной и ψ в уравнении Шредингера можно понимать как обычную координатную функцию. Для этой функции имеем уравнение

(112.3)

Гамильтониан этого уравнения не содержит явно координат x и z. Поэтому с ним коммутативны также и операторы p_x и р_z (дифференцирования по х и z), т. е. х- и z-компоненты обобщенного импульса сохраняются. Соответственно этому ищем ψ в виде

(112.4)

Собственные значения p и p, пробегают все значения от —оо до оо. Поскольку А_z = 0, то z-компонента обобщенного импульса совпадает с компонентой обычного импульса тv_z. Таким образом, скорость частицы в направлении поля может иметь произвольное значение; можно сказать, что движение вдоль поля «не квантуется».

Подставив (112,4) в (112,3), получим следующее уравнение для функции χ(y):

(112.5)

где введены обозначения y_o =-cp_x /eH и

(112,6)

Уравнение (112,5) по форме совпадает с уравнением Шредингера (23,6) для линейного осциллятора, колеблющегося с частотой ω_H . Поэтому мы можем сразу заключить, что выражение в круглых скобках в (112,5), играющее роль энергии осциллятора, может принимать значения (п + 1/2) ħ ω_H ħħ, где п = 0, 1, 2,...

Таким образом, получаем следующее выражение для уровней

энергии частицы в однородном магнитном поле:

(112.7)

Первый член в этом выражении дает дискретные значения энергии, отвечающие движению в плоскости, перпендикулярной к полю; их называют уровнями Ландау. Для электрона µ/s = =-|e|ħ/mc, и формула (112,7) принимает вид

E=(n+0.5+σ)ħω_H+ (112.8)

Собственные функции отвечающие уровням энергии (112,7), даются формулой (23,12) с соответствующим изменением обозначений

= (112.9)

где а_Н =

В классической механике движение частиц в плоскости, перпендикулярной к полю Н (плоскость ху), происходит по окружности с неподвижным центром. Сохраняющаяся в квантовом случае величина у_о соответствует классической . y-координате центра окружности. Наряду с ней сохраняется также величина x_o = (сру/еН)+ х (легко убедиться в том, что ее оператор коммутативен с гамильтонианом (112,2)). Эта величина соответствует классической x-координате центра окружности . Однако операторы x_o и y_o не коммутативны друг с другом, так что координаты x_o и у_о не могут иметь одновременно определенных значений.

Поскольку (112,7) не содержит величины p_x, пробегающей непрерывный ряд значений, уровни энергии вырождены с непрерывной кратностью. Кратность вырождения, однако, становится конечной, если движение в плоскости ху ограничено большой, но конечной площадью S=L_x L_y. Число различных (теперь дискретных) значений p_x в интервале p_x равно (L_x./2πħ) p_x Допустимы все значения p_x, для которых центр орбиты находится внутри S (мы пренебрегаем радиусом орбиты по сравнению о большим L_y). Из условий 0 < y_o < L_y имеем p_x == eHLy/c. Следовательно, число состояний (для заданных n и p_z) есть eHS/2πħc. Если область движения ограничена также и вдоль оси z (длиной L_z, то число возможных значений р_z в интервале p_z, есть (L_z/2πħ) p_z, и число состояний в этом интервале есть

(112,10)

Для электрона имеет место еще дополнительное вырождение:

уровни энергии (112,8) совпадают для состояний с квантовыми числами n,σ=0.5 и n+1,σ=-0.5