конспект
.pdf
Далі проведемо інтегрування і отримаємо шуканий вираз для індукції магнітного поля, що створюється відрізком провідника зі струмом:
B = |
m0 × I |
×(cosa - cosa |
2 |
) |
. |
(4.5) |
|
||||||
|
4p×a |
1 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
3 Застосуємо закон Біо-Савара-Лапласа для обчислення індукції магнітного поля, яке створене нескінченно довгим прямим провідником зі струмом (див. рис. 4.3). Для цього використаємо формулу для індукції магнітного поля від відрізка із струмом (4.5).
|
|
|
B |
|
|
|
O |
|
|
|
a2 |
|
|
|
|
a1 |
|
I |
|
|
|
|
|
a |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
Рисунок |
|
4.3 – До |
обчислення індукції магнітного поля, що ство- |
|||||
|
||||||||
рюється нескінченним тонким провідником зі струмом
З рис. 4.3 випливає, що коли довжина відрізка b буде прямувати до нескінченності, то кут a1 буде прямувати до нуля, а кут a2 – до 180° . Це означає, що коли відрізок
перетвориться в нескінченно довгий провідник із струмом (b = ∞ ), кути будуть мати значення
a1 = 0, a2 =180° . |
(4.6) |
Тоді індукцію від нескінченно довгого тонкого провідника із струмом знайдемо, підставивши значення (4.6) в (4.5):
|
|
B = |
m0 × I |
×(1- (-1))= |
m0 × I |
, тобто |
|
B = |
m0 × I |
|
. |
|
|
|
(4.7) |
|||||||||||||
|
|
2p×a |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
4p×a |
|
|
|
|
2p×a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Таким чином, отримали співвідношення |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
(4.7), яке визначає індукцію магнітного поля від |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|||||||||||
нескінченного тонкого провідника із струмом I . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
O |
|
|
|
|||||||||||
Слід зазначити, що напрям вектора B |
можна |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
визначити за правилом правого гвинта: коли |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
гвинт встановити паралельно струму й |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dB |
|
|
|
|||||||||||
обертати його так, щоб поступальний рух |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
-b |
|
|||||||||||
гвинта був |
спрямований вздовж |
струму, |
то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
обертання |
шапочки |
гвинта буде |
визначати |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
β |
r |
2 |
|
dB |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
||||||||||||||||||
напрям силових ліній індукції магнітного поля. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dBxex |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
x |
|
|
|
|||||||||||
4 Застосуємо |
закон Біо-Савара-Лапласа |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dB |
|
|||||||||||
для обчислення індукції магнітного поля на осі |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
колового струму (див. рис. 4.4). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Розіб’ємо круговий виток, по |
якому |
|
dl |
|
|
I |
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
проходить струм I , |
на елементи |
довжини |
dl |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
O′ |
|
|
|
|||||||||
(див. рис. 4.4). Елемент довжини dl |
зі струмом I |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рисунок 4.4 |
|
|
|
|||||||||||||
створює в точці O магнітне поле dB , яке |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
визначається законом Біо-Савара-Лапласа (4.1). Відповідно до цього закону вектор |
dB є |
|||||||||||||||||||||||||||
перпендикулярним до радіуса-вектора |
r й |
вектора |
dl (див. |
рис. 4.4), а його модуль |
||||||||||||||||||||||||
відповідно до (4.3) дорівнює |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
r |
m0 |
|
I ×dl |
×sin p |
= m0 |
|
|
I ×dl |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
| dB |= |
× |
× |
|
. |
|
|
|
|
|
|
(4.8) |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
4p |
|
|
r2 |
2 |
4p |
|
|
|
r2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
19 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Тут враховано, що кут α між векторами r |
й dl |
дорівнює π / 2. |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
Подамо вектор dB у вигляді суми двох векторів: |
вектора Bxex , який спрямований |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
паралельно осі X , та вектора dB , який перпендикулярний до осі X (див. рис. 4.4). |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
Знайдемо векторну суму паралельних осі X |
компонент вектора dB . Виходячи з |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
рисунка 4.4, неважко знайти проекцію |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
dBx = -dB ×cos(p/ 2 -b) = - m0 |
× |
I ×dl ×sin b |
. |
|
|
(4.9) |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
У цій формулі кут β – кут між віссю |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4p |
|
|
|
|
|
|
r2 |
|
|
|
|||||||||||||
|
X |
|
та вектором r . Зазначимо, що для всіх елементів |
|||||||||||||||||||||||||||||||
струму Idl кут β має одне і те саме значення (див. рис. 4.4) |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
sin b = |
R |
= |
|
|
|
R |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
(4.10) |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
R2 + x2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Відповідно до принципу суперпозиції знаходимо результуючу проекцію Bx |
шляхом |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
підсумовування усіх елементарних проекцій dBx |
(або, в нашому випадку, їх інтегруванням) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
m0 |
|
|
|
I |
|
|
|
|
|
2πR |
|
|
|
|
|
I |
|
|
|
|
|
||||||
Bx = |
ò |
dBx = - |
× |
|
|
×sin b× |
ò |
dl = - |
m0 |
× |
×sin b×2pR = |
|
||||||||||||||||||||||
4p |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
r2 |
|
|
|
|
|
4p |
r2 |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
m0 |
|
|
I |
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m0 × I × R2 |
|
|
|
|||||||
= - |
4p |
× |
|
|
|
× |
|
|
|
|
|
×2pR = - |
2(R2 + x2 )3/ 2 |
. |
(4.11) |
|||||||||||||||||||
(R2 + x2 ) |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
R2 + x2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||
Знайдемо векторну суму перпендикулярних до осі |
X компонент вектора dB ( dB ). |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
Зазначимо – у цій сумі для кожного вектора |
dB можна знайти йому протилежний. Це |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
означає, що сума усіх векторів dB буде дорівнювати нулю. |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
Таким чином, результуюча індукція магнітного |
поля B |
від колового |
витка зі |
|||||||||||||||||||||||||||||||
струмом буде визначатися співвідношенням |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
r |
|
|
|
|
m0 × I × R2 |
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
B = Bxex |
= - |
2(R2 + x2 )3/ 2 |
ex |
. |
|
|
(4.12) |
|||||||||||||||||||||
§ 5 Взаємодія двох |
нескінченно |
довгих паралельних |
провідників. Ампер – |
|||||||||||||||||||||||||||||||
одиниця вимірювання сили струму [15] |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
1 У 1820 р. Ампер експериментально встановив, що два прямі паралельні струми притягуються, а антипаралельні відштовхуються. Знайдемо силу взаємодії двох паралельних нескінченних струмів.
Розглянемо два нескінченно довгі паралельні провідники із струмами 1 і 2 (рис. 5.1). Індукція магнітного поля, що створюється нескінченно довгим провідником зі струмом I1 в точці A на відстані R від провідника 1, визначається співвідношенням
B = |
m0 I1 |
. |
(5.1) |
|
|||
1 |
2pR |
|
|
|
|
||
I1 |
1 |
|
2 |
I2 |
|
|
|
|
|
|
F21 |
|
F12 |
A |
|
|
|
|
|
|
|
R |
B1 |
|
|
|
|
|
|
Рисунок 5.1 |
|
|||
Напрям вектора B1 можна визначити за правилом правого гвинта: коли гвинт
встановити паралельно струму й обертати його так, щоб поступальний рух гвинта був спрямований вздовж струму, то обертання шапочки гвинта буде визначати напрям силових
20
ліній індукції магнітного поля. У точці A відповідно до правила правого гвинта, вектор індукції магнітного поля B1 спрямований «до нас» і перпендикулярний до провідника 2. Тому кут α між провідником 2 і індукцією магнітного поля B1 в точці A буде дорівнювати π / 2. Тоді модуль сили Ампера, яка діє на відрізок довжиною l провідника 2 із струмом I2 , зможемо знайти із закону Ампера
F |
= B I |
l sin a = m0I1I2 l . |
(5.2) |
|
12 |
1 |
2 |
2pR |
|
|
|
|
|
|
Зрозуміло, якщо струми I1 і I2 паралельні, то сила F12 за правилом лівої руки спрямована до провідника 1. Аналогічно можна показати, що на провідник 1 із струмом I1 діє сила
|
|
|
F |
|
= m0 I2 I1 l , |
|
|
|
|
21 |
2pR |
|
|||
|
|
|
|
|
|
||
але ця сила спрямована до провідника 2, тобто F12 = -F21 (струми притягуються). |
|||||||
Якщо |
змінити напрям |
I1 (або |
I2 ), то зміняться напрями F12 і |
F21 . Оскільки |
|||
| F12 |=| -F21 |, |
то в загальному |
випадку |
|
сила взаємодії двох паралельних |
струмів буде |
||
визначатися співвідношенням |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
F = m0I2 I1 l |
. |
(5.3) |
||
|
|
|
|
|
2pR |
|
|
2 Вивчення взаємодії двох прямих сталих паралельних струмів дає змогу встановити одиницю струму – ампер як одну з основних у СІ. Ампер (А) – сила сталого струму, який,
проходячи по двох паралельних прямолінійних провідниках нескінченної довжини малого кругового перерізу, розміщених на відстані 1 м один від одного у вакуумі, утворює силу
взаємодії між ними, яка дорівнює 2×10−7 ньютон на кожний метр довжини.
|
|
З означення ампера і формули (5.3) знайдемо значення m0 : |
||||||||
2×10 |
−7 |
Н= |
m0 ×1 А ×1 А ×1м |
, звідки m0 = 4p×10 |
−7 |
Н |
= 4p×10 |
−7 |
Гн |
(генрі на метр). |
|
2p×1м |
|
А2 |
|
м |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
§ 6 Сила, що діє на контур із струмом в однорідному магнітному полі. Момент сил, що діють на контур із струмом у магнітному полі. Вимірювання індукції магнітного поля за допомогою контуру зі струмом [5]
1 Знайдемо силу F , що діє на контур із струмом в однорідному магнітному полі
( B = const ). Згідно із законом Ампера на елемент контуру dl |
зі струмом I діє сила |
dF = I[dl ´ B] . |
(6.1) |
Результуючу усіх сил, що діють на усі елементи контуру, тобто силу, яка діє на контур, знайдемо шляхом інтегрування (6.1):
F = òI[dl ´ B]. |
(6.2) |
||
Винесемо сталі величини I й B з під знака інтеграла. У результаті отримаємо |
|
||
r |
r |
r |
|
F |
= I[(òdl )´ B] . |
(6.3) |
|
Інтеграл òdl береться за замкненим контуром і тому він дорівнює нулю. Тоді з (6.3)
випливає, що і сила дорівнює нулю F = 0 .
21
Таким чином, сила, що діє на контур зі струмом в однорідному магнітному полі,
дорівнює нулю. Це справедливо для контурів будь-якої форми (у тому числі й неплоских) при довільному розміщенні контуру відносно напрямку поля. Істотною умовою для рівності нулю результуючої сили є лише однорідність поля.
У неоднорідному магнітному полі сила, що діє на контур із струмом, не дорівнює нулю. Її визначають таким співвідношенням:
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
(6.4) |
|
|
|
|
|
|
|
|
F = (pm ×Ñ)B , |
|
|
|
|
|||||
де pm = I ×S ×n |
магнітний |
момент |
контуру зі |
|
|
r |
r |
r |
|
– |
||||||
струмом, Ñ = ex ¶ ¶x |
+ ey ¶ ¶y + ez ¶ ¶z |
|||||||||||||||
оператор набла. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2 Обчислимо |
результуючий обертальний |
|
x1 |
X |
x2 |
|
|
|
|
|||||||
момент сил |
|
M , що діє на плоский контур із |
2 |
|
|
3 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
струмом I |
|
в |
однорідному |
магнітному полі з |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
dF1 |
I |
|
dF2 . |
|
|
|||||||||
індукцією B . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|||||
На рис. 6.1 показано прямокутний контур, |
|
F |
B |
2 |
|
|
|
|||||||||
орієнтований |
|
так, |
щоб |
вектор |
B |
був |
|
r |
|
|
|
|||||
|
|
|
F . |
a |
|
|||||||||||
паралельний двом з його сторонам. При |
|
1 |
pm |
|
|
|
|
|||||||||
зазначених |
напрямках струму |
й |
поля |
(див. |
|
|
M |
|
|
|
|
|
||||
рис. 6.1) на кожний елемент dl1 |
ділянки 1–2 діє |
|
dl |
|
dl2 |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||
спрямована за площину рисунка сила Ампера |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||
1 |
|
|
|
|
|
4 |
|
|||||||||
dF1 , модуль якої дорівнює |
IBdl1 , а на кожний |
|
b |
|
|
|
|
|||||||||
елемент dl2 |
ділянки 3–4 діє спрямована «на нас» |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Рисунок 6.1 – Плоский |
контур |
|
зі |
|||||||||||||
сила Ампера |
dF2 , модуль якої дорівнює |
IBdl2 . |
|
|||||||||||||
струмом в однорідному магнітному полі, |
||||||||||||||||
Ділянки 2–3 і 4–1 паралельні полю, тому сили на |
індукція B |
якого паралельна стороні b |
||||||||||||||
них не діють. |
|
|
|
|
|
|
|
контуру. |
Нормаль |
n |
і сила |
|
F1 |
|||
Результуюча F1 сил dF1 прикладена до |
|
|||||||||||||||
спрямовані |
«від |
нас», |
сила |
|
F2 |
|||||||||||
середини ділянки 1–2 і має модуль, що дорівнює |
|
|||||||||||||||
IBa . Аналогічно |
результуюча |
F2 |
сил |
dF2 |
спрямована «на нас» |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
прикладена до середини ділянки 3–4 і має модуль такої ж величини, що й F1 . Момент сил F1 й F2 відносно довільної осі X (див. рис. 6.1) дорівнює
M = IBa× x1 + IBa× x2 = IBa×(x1 + x2 ) = IBa×b = IBS .
Тут використано, що виходячи з геометричних міркувань x1 + x2 = b , a ×b = S , де S – площа
контуру. Врахувавши взаємну орієнтацію векторів M , B |
і орту нормалі n контуру зі |
||
струмом I , можна записати, що |
r |
|
|
M = |
(6.5) |
||
[(ISn)´ B]. |
|||
Вираз ISn є важливою характеристикою контуру площею S зі струмом I , який називають магнітним моментом контуру
r |
r |
. |
(6.6) |
pm = ISn |
|||
Вектор нормалі контуру n має одиничну довжину, спрямований перпендикулярно до площини контуру і пов’язаний з напрямом електричного струму, що проходить по контуру,
правилом правого гвинта. Як випливає з (6.6), магнітний момент вимірюється в системі СІ в A× м2 .
Тоді формулу (6.5) з урахуванням визначення магнітного моменту можна записати у вигляді
22
|
|
|
|
|
|
r |
r |
|
|
|
|
(6.7) |
||||
|
|
|
|
M = [ pm × B], |
( pm B) . |
|
|
|
||||||||
Нагадаємо, що формула (6.7) отримана для випадку, коли вектор |
B є паралельним площі |
|||||||||||||||
|
|
r |
B) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
цього контуру ( pm |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
У випадку, |
коли вектори pm |
й B паралельні (в цьому |
|
B |
|
B |
||||||||||
випадку вектор B є перпендикулярним до площі контуру), сили, |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||
що діють на окремі елементи контуру, лежать в одній площині |
|
|
|
|
||||||||||||
(площині контуру) і, отже, не можуть створити обертальний |
|
|
α |
|
||||||||||||
момент. Ці сили прагнуть розтягти (якщо |
pm |
|
й |
B |
мають |
|
|
|||||||||
однаковий |
напрям) або |
стиснути |
(якщо |
pm |
й |
B |
мають |
|
n |
pm B|| |
||||||
протилежні напрями) контур. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
I |
|
|
|||||||
Розглянемо випадок, коли вектори pm |
й |
B |
утворюють |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||
довільний кут |
α (рис. 6.2). Розкладемо магнітну індукцію |
B на |
Рисунок 6.2 – Контур, |
|||||||||||||
дві складові: B|| |
– паралельну й B – перпендикулярну до вектора |
|||||||||||||||
нормаль n до площини |
||||||||||||||||
pm , і розглянемо дію кожної складової окремо. Компонента B|| |
||||||||||||||||
якого утворює з нап- |
||||||||||||||||
буде обумовлювати сили, що розтягують або стискають контур. |
рямом вектора B кут α |
|||||||||||||||
Компонента B , що має модуль, який дорівнює B sin α , приведе |
|
|
|
|
||||||||||||
до виникнення обертального моменту, який можна обчислити за формулою (6.7): |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
(6.8) |
||
|
|
r |
|
|
|
M = [ pm × B ]. |
|
|
|
|
||||||
Оскільки [ pm × B|| ] = 0 , формулу (6.8) можна написати у вигляді |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
. |
|
|
|
|
(6.9) |
||
|
|
|
|
|
|
M = [ pm × B] |
|
|
|
|
||||||
Таким чином, отримали формулу (6.9), яка визначає результуючий обертальний |
||||||||||||||||
момент сил, що діє на плоский контур із струмом |
I в однорідному магнітному полі з |
|||||||||||||||
індукцією B . Зазначимо, |
що ця формула є справедливою при будь-якій взаємній орієнтації |
|||||||||||||||
векторів pm |
і |
B . |
Можна довести, що вона є правильною для плоских контурів будь-якої |
|||||||||||||
форми, що знаходяться в однорідному магнітному полі.
3 Формулу (6.9) можна застосовувати й для неоднорідних магнітних полів. Необхідно тільки, щоб розміри контуру були малі. Тоді впливом неоднорідності поля на обертальний момент можна знехтувати. Такі контури й котушки можуть бути використані на практиці для вимірювання індукції магнітного поля. У цьому випадку їх називають пробними.
Якщо пробний контур помістити в магнітне поле, то під дією обертального моменту його магнітний момент pm встановиться уздовж індукції магнітного поля B подібно, як це відбувається з магнітною стрілкою. Таким чином, самовільна орієнтація контуру зі струмом
в магнітному полі дозволяє визначити напрям вектора індукції магнітного поля B .
Повернемо контур із цього положення на 90°. Обертальний момент у цьому випадку стане максимальним. Вимірявши максимальний обертальний момент сил M max контуру зі
струмом, знаючи його магнітний момент, можемо знайти модуль індукції магнітного поля,
використовуючи формулу (6.9):
|
|
|
B = Mmax / pm |
. |
(6.10) |
Таким чином, використовуючи контур зі струмом, можна виміряти як напрям, так і модуль вектора індукції магнітного поля.
23
§ 7 Робота при переміщенні контуру зі струмом у магнітному полі [9]
1 Розглянемо спочатку окремий випадок. Нехай паралельні провідники AN й CD
(рис. 7.1) розміщені в однорідному сталому магнітному полі з індукцією B , яке перпендикулярне до площини рисунка й спрямоване «до нас». Ліворуч знаходиться джерело струму, яке не показано на рисунку. По проводах може вільно переміщуватися провідний місток KL , що замикає струм I , який проходить по проводах, які розміщені ліворуч містка. Якщо l – довжина містка, то на нього магнітне поле діє із силою Ампера F = IBl . При переміщенні містка на відстань dx ця сила виконає роботу
dA = Fdx = IBldx = Id(BS) ,
де S – площа прямокутника AKLC . Величина BS є магнітним потоком через той самий
прямокутник. Позначивши його через F = B ×S = B × S , отримаємо для елементарної роботи співвідношення
|
|
dA = IdΦ |
, |
|
|
(7.1) |
а для скінченної роботи у випадку сталого електричного струму |
|
|||||
|
|
|
|
|||
|
A12 = I (F2 - F1) |
. |
(7.2) |
|||
Таким чином, робота, яка виконується магнітним |
|
|||||
полем над струмом, дорівнює збільшенню магнітного потоку, |
|
|||||
помноженому на силу струму I . При |
доведенні |
|
||||
передбачалося, що струм I при переміщенні |
містка KL |
|
||||
підтримувався постійним. |
|
|
|
|||
2 Формули (7.1) та (7.2) є правильними і в тому випадку, |
Рисунок 7.1 |
|||||
коли магнітне поле спрямовано довільно. Ці |
формули є |
|
||||
правильними також і для будь-якого витка зі струмом при довільному переміщенні його в сталому неоднорідному магнітному полі. Виток може не тільки переміщуватись як ціле,
але й довільно деформуватися. Для доведення достатньо подумки розбити виток на нескінченно малі елементи струму й розглянути нескінченно малі їх переміщення. При нескінченно малому переміщенні елемента струму магнітне поле, у якому він переміщується, може вважатися однорідним. До такого переміщення можна застосувати вираз (7.1) для елементарної роботи. Додаванням таких елементарних робіт для всіх елементів струму, на які розбитий виток, знову отримуємо вираз (7.1), у якому dΦ означає збільшення магнітного потоку через весь виток. Після цього перехід від формули (7.1) до формули (7.2) відбувається простим інтегруванням. Підкреслимо ще раз, що при переміщенні витка сила струму у ньому повинна підтримуватися сталою. Це досягається шляхом відповідного збільшення електрорушійної сили джерела.
§ 8 Теорема Гаусса для магнітного поля у вакуумі. Теорема про циркуляцію вектора магнітної індукції [5]
1 Як відомо, елементарним потоком вектора A через площу dS |
називають |
величину |
|
dF = A×dS . |
|
Виходячи із цього визначення, можемо записати елементарний потік вектора індукції |
|
магнітного поля B через площу dS у вигляді |
|
dF = B ×dS . |
(8.1) |
Магнітний потік через довільну площу S за визначенням дорівнює |
|
F = ò B ×dS . |
(8.2) |
S |
|
24 |
|
Однією з особливостей магнітного поля є те, що його силові лінії завжди замкнені,
тобто не мають ні початку, ні кінця. Внаслідок |
цього потік вектора B через будь-яку |
||
замкнену поверхню дорівнює нулю (доводити це не |
будемо): |
||
|
|
|
|
|
òBdS = 0 |
. |
(8.3) |
|
S |
|
|
Ця формула виражає теорему Гаусса для вектора індукції магнітного поля B в
інтегральному вигляді: потік вектора магнітної індукції через будь-яку замкнену поверхню дорівнює нулю.
Теорема Гаусса є математичним виразом того, що в природі відсутні «магнітні заряди» – джерела магнітного поля, на яких би починалися або закінчувалися лінії магнітної індукції.
Зазначимо, що магнітний потік Ф вимірюється у веберах (1 Вб=1 Тл·1 м2).
2 Для того щоб отримати теорему Гаусса в диференціальному вигляді, використаємо теорему Остроградського-Гаусса
ò A×dS = òdivA×dV , |
(8.4) |
|
S |
V |
|
де об'єм інтегрування V знаходиться в середині замкненої поверхні інтегрування S . Виходячи з теореми Остроградського-Гаусса й (8.3), отримаємо для індукції
магнітного поля
òBdS = òdivBdV = 0 ,
S |
V |
|
|
або |
|
|
|
|
|
|
|
|
divB = 0 |
. |
(8.5) |
Співвідношення (8.5) виражає теорему Гаусса для вектора індукції магнітного поля B в
диференціальному вигляді.
3 Тепер знайдемо циркуляцію вектора B . Нагадаємо, що циркуляцією вектора B за
визначенням називають інтеграл по замкненому контуру Γ : |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
òB ×dl , |
|
|
|
(8.6) |
|||
|
|
|
|
|
|
Γ |
|
|
|
|
|
|
|
де dl – елемент замкненого контуру Γ , по якому виконують інтегрування. |
|
|
|||||||||||
Обчислимо |
|
циркуляцію |
|
|
Γ |
|
2 |
|
− dα |
||||
вектора B для випадку поля |
|
|
b |
dl |
|
|
|
||||||
нескінченного прямого струму. Нехай |
|
I |
|
|
|
||||||||
замкнений контур Γ лежить у |
|
|
I |
|
+ dα |
Γ |
|||||||
|
|
|
|||||||||||
площині, яка перпендикулярна до |
|
dα |
|
|
|
||||||||
провідника, по якому проходить |
|
|
|
B |
|
1 |
|
||||||
такий електричний струм (рис. 8.1). У |
|
а) |
|
б) |
|||||||||
кожній |
точці контуру |
вектор |
B |
|
|
|
|
||||||
Рисунок 8.1 – До обчислення циркуляції для поля |
|||||||||||||
спрямований за дотичною до кола, що |
|||||||||||||
прямого струму. Струм перпендикулярний до |
|||||||||||||
проходить |
через |
цю точку. Через |
|||||||||||
площини рисунка і спрямований за рисунок |
|||||||||||||
центр |
цього |
кола |
проходить |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
електричний струм I і спрямований за площу рисунка. Подамо B ×dl |
у вигляді B ×dlB ( dlB – |
||||||||||||
проекція |
dl |
на напрям вектора |
B ). З рисунка випливає, |
що dlB |
дорівнює bdα , де b – |
||||||||
відстань від провідника зі струмом до dl ; |
dα – кут, на який повертається радіальна пряма |
||||||||||||
при переміщенні уздовж контуру на відрізок dl . Підставимо в (8.6) це значення dlB , вираз для індукції B нескінченно довгого провідника зі струмом й отримаємо
25
ò |
r r |
= |
ò |
BdlB = |
|
μ0 |
2I |
bdα = |
μ0I |
ò |
dα . |
Bdl |
|
||||||||||
|
|
||||||||||
|
|
|
ò 4π b |
|
2π |
|
|||||
Γ |
|
|
Γ |
|
|
|
|
|
|
|
|
При обході контуру Γ , |
що охоплює струм (рис. 8.1а), радіальна пряма увесь час |
||||||||||
повертається в одному напрямку, тому òdα = 2π . Якщо струм не охоплюється контуром Γ
(рис. 8.1б), то радіальна пряма повертається спочатку в одному напрямку (ділянка 1–2), а потім у протилежному (ділянка 2–1). Кути dα , що відповідають поворотам у протилежні
боки, відрізняються знаком. Тому òdα = 0. Обидва результати можна виразити формулою
òBdl = μ0I , |
(8.7) |
Γ |
струму не охоплює, I = 0 і, |
де I – струм, який охоплюється контуром Γ . Якщо контур Γ |
|
отже, циркуляція також дорівнює нулю. |
|
Знак циркуляції залежить від напрямку обходу контуру. Якщо цей напрям утворює з напрямом струму правогвинтову систему, то, як випливає з рис. 8.1а, вираз (8.7) додатний, у протилежному разі – від’ємний. Знак можна врахувати, вважаючи I алгебраїчною величиною, причому додатним потрібно вважати струм, напрям якого утворює із напрямом обходу контуру правогвинтову систему; струм протилежного напрямку буде від’ємним.
Ми отримали формулу (8.7) для прямого струму й плоского контуру. Однак можна довести, що ця формула є правильною й для неплоского контуру, і для струму, що проходить по провіднику довільної форми.
За допомогою принципу суперпозиції отриманий результат легко узагальнюється на
випадок декількох струмів: |
|
òBdl = μ0 åIk |
(8.8) |
Γk
Формула (8.8) виражає теорему про циркуляцію вектора індукції магнітного поля у вакуумі: циркуляція вектора B по довільному контуру Γ дорівнює алгебраїчній сумі струмів, що охоплюються контуром Γ , яка помножена на μ0 .
Зазначимо, що формула (8.8) справедлива тільки для поля у вакуумі й за умовою відсутності змінних у часі електричних полів. Поле, циркуляція якого не дорівнює нулю, називається вихровим. Таким чином, магнітне поле є вихровим.
§ 9 Магнітне поле тороїда. Магнітне поле нескінченного соленоїда [5] 1 У вченні про магнітне поле сталих струмів теорема про циркуляцію магнітного поля
òBdl = μ0 åIk , |
(9.1) |
|
Γ |
k |
|
де åIk дорівнює алгебраїчній сумі струмів, |
що охоплюються контуром |
Γ , відіграє |
приблизно таку саму роль, що і теорема Гаусса в електростатиці. За умови наявності симетрії у розподілі електричних струмів теорема про циркуляцію дозволяє достатньо просто визначити індукцію магнітного поля.
2 Тороїдом називається провідник, який навитий на каркас, що має форму тора
(рис. 9.1). Застосуємо теорему про циркуляцію магнітного поля (9.1) для знаходження магнітного поля, яке створює електричний струм I , що проходить по тороїду. Візьмемо контур інтегрування Γ у вигляді кола радіуса r , центр якого збігається із центром тороїда
(див. рис. 9.1). У наслідок симетрії розподілу електричних струмів вектор B у кожній точці
контуру Γ спрямований вздовж дотичної до нього. Отже, циркуляція вектора B вздовж цього контуру дорівнює
26
òBdl = B ×2pr ,
Γ
де B – магнітна індукція у тих точках, де проходить контур Γ . Якщо контур проходить усередині тороїда, він
охоплює струм åIk = 2pRnI , де R – радіус тороїда; n –
число витків на одиницю його довжини. Тоді згідно з теоремою про циркуляцію магнітного поля (9.1) можемо записати
B ×2pr = m0 ×2pRnI ,
звідки знаходимо індукцію магнітного поля всередині тороїда
B = |
R |
m0nI |
. |
(9.2а) |
|
||||
|
r |
|
|
|
Коли контур проходить за межами тороїда, то він струмів не охоплює. Тому в цьому випадку B ×2pr = 0. Отже, за межами тороїда поле дорівнює нулю
|
. |
(9.2б) |
B = 0 |
r
R |
|
h |
|
Рисунок 9.1 – Тороїд |
ра- |
діуса R . Штриховою лінією радіуса r показано контур інтегрування Γ
Таким чином, поле зосереджене усередині тороїда. Зазначимо, що поле тороїда не є однорідним, у точках з різним значенням r індукція магнітного поля, як це випливає з (9.2а), є різною.
2 Соленоїдом називається провідник, який навитий на каркас, що має форму циліндра. Знайдемо індукцію магнітного поля нескінченно довгого соленоїда з відомим числом витків на одиницю його довжини n , по якому проходить струм I .
Перш за все зазначимо, що нескінченно довгий соленоїд є частинним випадком тороїда. Дійсно, коли радіус тороїда R збільшувати до нескінченності, то довільний відрізок тороїда перейде у соленоїд. Звідси випливає, що магнітне поле соленоїда можна знайти, використовуючи формулу для індукції магнітного поля тороїда (9.2).
Розглядаючи улаштування тороїда (див. рис. 9.1), неважко з’ясувати, що відстань від центра тороїда до його довільної точки r пов’язана з радіусом тороїда R таким співвідношенням:
r = R − h , |
(9.3) |
де h є відстанню від осі тороїда до його довільної точки (див. рис. 9.1). Підставимо (9.3) в (9.2), перейдемо до випадку R ® ¥ і отримаємо формулу для індукції магнітного поля всередині соленоїда
æ |
R ö |
æ |
1 ö |
æ |
|
1 |
ö |
|
||||
B = m0nI lim ç |
|
÷ |
= m0nI lim ç |
|
|
÷ |
= m0nIç |
|
|
÷ |
= m0nI . |
|
|
|
|
1 |
- 0 |
||||||||
R→∞è R - h ø |
|
R→∞è |
1- h / R ø |
è |
ø |
|
||||||
Таким чином, індукція магнітного поля всередині соленоїда дорівнює |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
B = m0nI |
. |
|
|
|
|
(9.4а) |
||
Зрозуміло, що за межами соленоїда, як і у випадку тороїда, магнітне поле відсутнє, тобто
|
. |
(9.4б) |
B = 0 |
Слід також відзначити, що як випливає з (9.4), у різних внутрішніх точках соленоїда магнітне поле має однакове значення як за модулем, так і за напрямом. Тобто всередині соленоїда магнітне поле є однорідним.
27
ТЕМА 2 МАГНІТНЕ ПОЛЕ В РЕЧОВИНІ
§ 10 Намагнічування речовини. Гіпотеза Ампера. Намагніченість [5]
1 Якщо в магнітне поле B0 , що створене у вакуумі, помістити будь-яку речовину, то
магнітне поле зміниться. Це пояснюється тим, що всяка речовина є магнетиком, тобто здатна під дією магнітного поля отримувати магнітний момент (намагнічуватися). Намагнічена
речовина створює додаткове поле B¢, що разом з полем B0 утворює результуюче поле
B = B0 + B¢ . |
(10.1) |
Дійсне (мікроскопічне) поле в магнетику дуже змінюється в межах міжмолекулярних
відстаней. Тому під індукцією B розуміємо на увазі усереднене (макроскопічне) поле.
2 Для пояснення намагнічування тіл Ампер припустив (гіпотеза Ампера), що в молекулах речовини циркулюють кругові струми (молекулярні струми). Кожний такий струм має магнітний момент і створює в навколишньому просторі магнітне поле. За умови відсутності зовнішнього поля молекулярні струми орієнтовані безладно, тому результуюче поле, що обумовлене ними, в середньому дорівнює нулю. Внаслідок хаотичної орієнтації магнітних моментів окремих молекул сумарний магнітний момент тіла також дорівнює нулю. Під дією зовнішнього поля магнітні моменти молекул отримують переважну орієнтацію в одному напрямку, внаслідок чого речовина намагнічується – його сумарний магнітний момент стає відмінним від нуля. Магнітні поля окремих молекулярних струмів у
цьому випадку вже не компенсують один одного, і тому виникає поле додаткове B¢. Гіпотеза Ампера, як виявилось пізніше, правильно описує намагнічування парамагнетиків.
3 Намагнічування речовини характеризують вектором намагніченості. Вектором намагніченості називають магнітний момент одиниці об’єму
r |
|
1 |
|
r |
|
|
|
J |
= |
|
|
å pm , |
(10.2) |
||
DV |
|||||||
|
|
V |
r |
|
|||
де V – фізично нескінченно малий |
об'єм, |
узятий біля деякої точки простору; |
– |
||||
pm |
|||||||
магнітний момент окремої молекули. Підсумовування виконується за всіма молекулами, що знаходяться в об'ємі V .
Як випливає зі співвідношення (10.2) намагніченість у системі СІ вимірюється в амперах поділених на метр ([J ] = A× м2 / м3 = А/ м ).
§ 11 Теорема Гаусса для індукції магнітного поля в речовині. Напруженість магнітного поля. Теорема про циркуляцію напруженості магнітного поля [5]
1 Поле, яке створюється молекулярними струмами B¢, так само як і поле у вакуумі B0 не має джерел. Тому дивергенція результуючого поля у речовині
B = B0 + B¢ |
(11.1) |
дорівнює нулю: |
|
divB = divB0 + divB¢ = 0. |
(11.2) |
Таким чином, отримуємо теорему Гаусса для індукції магнітного поля в речовині у диференціальному вигляді
|
divB = 0 |
. |
|
(11.3) |
Використовуючи теорему Остроградського-Гаусса |
ò A×dS = òdivA×dV , знаходимо |
|||
|
|
|
S |
V |
теорему Гаусса для індукції магнітного поля у речовині в інтегральному вигляді
28