Выполнение

Целью данной задачи является определить оптимальную структуру ежедневного производства двигателей. Построение математической модели начинаем с идентификации переменных (искомых величин). После этого целевая функция и ограничения выражаются через соответствующие переменные.

Пусть – двигатели первого типа, а– двигатели второго типа, аz – оптимальное ограничение линии по производству двигателей.

Целевая функция, выражающая структуру ежедневного производства двигателей, будет иметь следующий вид:

Ограничения, выражающие производительность линии по производству двигателей в день имеют вид:

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

Исходя из условий задачи и полученных ограничений, можем построить пространство допустимых решений. По горизонтальной оси отложим Х1, по вертикальной – Х2. Исходя из условия (1,2) можно определить, что все решения находятся в первом квадранте. Построим график и нанесем линии ограничений.

График ограничений

М

М – область допустимых значений;

А – угловая точка.

Стрелками показано размещение допустимых решений относительно линии, которые удовлетворяют ограничение (т.е. показаны допустимые полупространства). Закрашенная область графика показывает область допустимых решений. На графике точка А - угловая точка. Ее нашли построив функцию Z, взяв ее значение равным 84000, определив направление данной прямой и параллельно сместив ее в направлении, показанном стрелкой смогли определить угловую точку которая является оптимальным решением.

Точка А является местом пересечения прямых (3) и (5) поэтому ее координаты исможем найти как решение системы уравнений, задающих эти прямые:

Решаем систему уравнений:

После решения системы уравнений мы имеем и:

,5

Целевая функция равна:

36562,5

Выполним округление значений:

36562

Графическим методом было найдено, что оптимальное ограничение линии по производству двигателей первого и второго типа равняется 187 и 500. Максимальный доход при этом будет равен 36562 $.

Симплексный метод решения задачи линейного программирования Теоретические сведения

Наиболее известным и широко применяемым на практике для решения общей задачи линейного программирования (ЛП) является симплекс-метод. Несмотря на то, что симплекс-метод является достаточно эффективным алгоритмом, показавшим хорошие результаты при решении прикладных задач ЛП, он является алгоритмом с экспоненциальной сложностью. Причина этого состоит в комбинаторном характере симплекс-метода, последовательно перебирающего вершины многогранника допустимых решений при поиске оптимального решения.

Принцип решения задачи симплекс-методом

Алгоритм перехода к следующей таблице такой:

1. Просматривается последняя строка (индексная) таблицы и среди коэффициентов этой строки (исключая столбец свободных членов ) выбирается наименьшее отрицательное число при отыскании max, либо наибольшее положительное при задачи на min. Если такового нет, то исходное базисное решение является оптимальным и данная таблица является последней.

2. Просматривается столбец таблицы, отвечающий выбранному отрицательному (положительному) коэффициенту в последней строке- ключевой столбец, и в этом столбце выбираются положительные коэффициенты. Если таковых нет, то целевая функция неограниченна на области допустимых значений переменных и задача решений не имеет.

3. Среди выбранных коэффициентов столбца выбирается тот, для которого абсолютная величина отношения соответствующего свободного члена (находящегося в столбце свободных членов) к этому элементу минимальна. Этот коэффициент называется разрешающим, а строка в которой он находится ключевой.

4. В дальнейшем базисная переменная, отвечающая строке разрешающего элемента, должна быть переведена в разряд свободных, а свободная переменная, отвечающая столбцу разрешающего элемента, вводится в число базисных. Строится новая таблица, содержащая новые названия базисных переменных.

5. Разделим каждый элемент ключевой строки (исключая столбец свободных членов) на разрешающий элемент и полученные значения запишем в строку с измененной базисной переменной новой симплекс таблицы.

6. Строка разрешающего элемента делится на этот элемент и полученная строка записывается в новую таблицу на то же место.

7. В новой таблице все элементы ключевого столбца = 0, кроме разрезающего, он всегда равен 1.

8. Столбец, у которого в ключевой строке имеется 0,в новой таблице будет таким же.

9. Строка, у которой в ключевом столбце имеется 0,в новой таблице будет такой же.

10. В остальные клетки новой таблицы записывается результат преобразования элементов старой таблицы

В результате получают новую симплекс-таблицу, отвечающую новому базисному решению.