Інтегрування

В Maple є безліч внутрішніх функцій з цього розділу математики. Однак багато з них не мають важливого значення і застосовуються дуже рідко.

Найбільш вживається оператор int (f, x) або int (f, x=a.. b,). У першому випадку обчислюється невизначений інтеграл, в другому - визначений з границями інтегрування від a до b.

Приклад

> Int (x/(x^3-1), x);

> int (x/(x^3-1), x);

> Int (sin (x), x=0.. Pi);

> int (sin (x), x=0.. Pi);

2

Може виникнути ситуація, коли інтеграл відноситься до тих, які не обчислюються. При цьому в полі результату буде відображено тільки формальний вигляд інтегралу. Для обчислення визначеного інтегралу можна скористуватися чисельними засобами. Для цього необхідно вжити функцію evalf, розглянуту вище, в такій формі evalf (", n), де подвійні лапки (") вертають попередній результат обчислень, двоє подвійних лапок ("") - результат перед попереднім і т.ін.; n визначає кількість цифр після коми.

Приклад

> int (exp (-x^3), x=0.. 1)

> evalf (", 7);

Щоб взяти невизначений інтеграл, що не обчислюється, потрібно розкласти підінтегральний вираз у ряд за ступенями x, а після цього взяти інтеграл. Розклад здійснюється за допомогою функції series (вир, тчк, n), де вир- це даний вираз, тчк - точка (наприклад x=a), n-порядок многочлена або кількість складових.

Приклад

> int (exp (-x^2) *ln (x), x);

> series (", x=0, 4);

Існують ще деякі функції для роботи з інтегралами, але вони не будуть розглянуті, бо вони не мають широкого вжитку. Більш детально з цією інформацією можна ознайомитись у довідковій системі Maple.

Вправа. Обчислення

I Знайти похідні:

1. .

2. .

3. .

II Обчислити границі:

1. .

2. .

3. .

4. .

III Знайти інтеграли:

1. .

2. .

3. .

4. .

5. .

6. .

6 Операції з виразами

Спрощення формул здійснюється викликом функції expand (вир.). Вона замінює множення у виразі на суму. Ця функція вміє працювати з більшістю математичних функцій. Якщо після основного параметра зазначений ще одне вираз, то виконується спрощення відносно останнього параметра.

Протилежною по відношенню до описаної вище функції є функція factor (вир), що розкладає вираз на множники.

Нормалізацією виразів займається функція normal(вир). Вона спрощує вираз шляхом скорочення дробів, розкриття дужок, складання однорідних членів і т. ін.

> expand((x+1)*(x+2));

x²+3x+2

> expand((x+1)/(x+2));

> expand(ln(x/(1-x)^2));

ln(x) - 2 ln(1 - x)

> factor(x²+3x+2);

(x+1)*(x+2)

> factor((x^3-y^3)/(x^4-y^4));

> normal( x^2-(x+1)*(x-1)-1 );

0

> normal( (x^2-y^2)/(x-y)^3 );

> normal( {2/x + y/3 = 0} );

7 Многочлени

В Maple многочлени створюються із змінних, чисел та інших значень пакета, використовуючи арифметичні операції +, - та ^. Наприклад, команда a:=x^3+5x^2+11x+15 створює многочлен x³+5 x²+11 x+15.

Спеціальні функції для операцій над многочленами:

coeff (p, x, n) - вертає коефіцієнти многочлена, де р- це многочлен; х -змінна, ступінь якої визначається; n -показник ступеня;

divide (a, b, 'q)' -виконує цілочислове ділення многочленов a на b і результат присвоює змінній q;

gcd (a, b) -визначає найбільший загальний дільник a і b;

lcm (a, b) -найменше загальне кратне;

discrim (p, x) -знаходження дискримінанта многочлена p за незалежною змінною x;

interp (x, y, v) -інтерполяція многочленів. Параметри: x - вектор або список незалежних значень, x [1],.. x [n+1]; y - вектор або список незалежних значень, y [1],.. y [n+1]; v - змінна, за якою буде інтерполіруватися многочлен;

realroot (p, e) - знаходить інтервали, в яких знаходяться корені многочлена, з погрішністю e;

Примітка - Необхідний виклик бібліотеки realroot. Це здійснюється так: readlib(realroot);

fsolve (<eqns>, <vars>, <options>) – чисельне знаходження коренів, використовуючи арифметику з крапкою, що плаває. Параметри:

<eqns> - вираз або набір відношень;

<vars> - змінна, за якою знаходять корені;

<options> - опції.

Є в розпорядженні такі опції:

• complex - корені шукаються серед комплексних чисел;

• fulldigits - обчислюються корені залежно від змінної Digits, визначальної кількість знаків після коми. Цей параметр використовується в точних обчисленнях, але виконання функції уповільнюється;

• maxsols=n - знаходить тільки n найменших коренів. Використовується в поліномах, де коренів більше ніж один;

• interval - наприклад, a..b, або x=a..b, або {x=a.. b, y=c.. d,...}. Корені шукаються в заданому інтервалі. Інтервал за умовчанням є закритим;

• fixdiv (a, x) - обчислює найбільше ціле число, що є дільником полінома a (x).

У першій частині цієї методичної розробки описані найголовніші основи роботи в Maple. Існують ще багато інших можливостей цього пакета. Деякі з них, наприклад робота з графікою, методи оптимізації, пошук розв’язків, описані у другій частині.

24