Задача№21.1

Задача№21.2

Задача№21.3

Задача№21.4

Задача№21.5

Задача№21.6

Задача№21.7

Задача№21.8

.	; ; . ; ; . ; ; . ; ;

Задача№21.9

; . ; .

Задача№21.10

; ; . ; ; ; .

Задача№21.11

; . ; . ; ; .

Задача№21.12

; . ; . ; ; . ; . ; .

Нахождение центра тяжести (1) такой фигуры сводится к ее разбиению на две более простых фигуры (треугольник 2 и сегмент 3), координаты центров тяжести которых нам известны. Первоначально найдем площади этих фигур. уравнение для моментов сил от опоры А и В. Интегрированием данного уравнения получим площадь сложной фигуры. площадь треугольника Площадь сектора найдем как разность двух площадей Центр тяжести (1) будет равен Высота эпюры моментов от единичной силы на расстоянии (1) равна

,

,

.

,

,

,

,

.

,

,

.

Расчет температурных напряжений в двухслойной

cтруктуре

Вопрос о напряжениях и деформациях в многослойной пластине имеет важное значение при отработке технологического процесса. Вследствие разных коэффициентов термического расширения слоев такие пластины при нагреве искривляются, что влияет на качество ряда технологических процессов производства микросхем.

Рассмотрим изгиб двухслойной прямоугольной пластины единич­ной ширины при действии изгибающего момента в отсутствие нагрева (рис.3,а). Будем считать, что напряженное состояние в пластине одноосное; - радиус кривизны нейтрального слоя; - модули упругости материалов слоев [4,5].

На основании гипотезы нормалей деформация по толщине слоев определяется как

,

где - расстояние от нейтрального слоя (положительное вниз).

Напряжение в верхнем слое определяется по закону Гука:

(3)

Положение нейтрального слоя найдем из условия равенства нулю силы в сечении (см. рис.3,а):

Это условие можно записать в виде суммы двух интегралов от по толщине слоев:

После преобразований имеем:

(4)

Рис.3. Схема двуслойной пластины: а – с нагрузкой в виде изгибающего момента; б – с температурной нагрузкой и моментом; в – с температурной нагрузкой

Изгибающий момент, равный произведению силы, действующей в слое, на расстояние другой силы, можно представить в виде суммы интегралов

или с учетом (3)

(5)

где - моменты инерции сечений слоев единичной ширины относительно нейтрального слоя,

По (5) можно вычислить кривизну нейтрально слоя:

(6)

Выражение для напряжений определим из (3), подставив кривизну (6):

.

Полученные зависимости справедливы, когда изгибающий момент переменный по длине.

Уравнение прогиба упругой линии пластины можно получить из (5):

(7)

Формула (7) значительно упрощается для двухслойной пластины, у которой . В этом случае

Положение нейтральной плоскости для такой пластины определяется как

. (8)

Формулы для напряжений имеют следующий вид:

(9)

Поскольку из (5) , выражения (9) упростятся:

(10)

Прогиб двухслойной пластины при можно получить интегрированием следующего уравнения упругой линии:

(11)

Формулы (10) и (11) можно использовать при анализе напряженно – деформированного состояния слоев по известной кривизне пластины, полученной экспериментальным путем.

Далее рассмотрим двухслойную пластину, охлажденную от температуры формирования верхнего слоя до нормальной температуры и нагруженную фиксированным моментом (рис.3, б). Величина выбрана такой, чтобы после охлаждения пластины прогиб был равен нулю.

При отсутствии прогиба деформация во всех точках пластины одинаковая:

для верхнего слоя:

для нижнего слоя:

где напряжения в верхнем и нижнем слоях, постоянные по толщине; - разность между температурами формирования слоя и нормальной.

Приравняв правые части уравнений, получим:

(12)

Для определения добавим к уравнению (12) еще одно уравнение, составленное из условия равенства нулю нормальной силы в сечении пластины:

(13)

Совместное решение системы двух уравнений дает:

(14)

Просуммировав по толщине напряжения в слоях, получим пару сил с расстоянием между ними , то есть момент в сечении равен

(15)

Из (14) нетрудно определить напряжения и радиус кривизны поверхности только при нагреве или охлаждении (рис.3, в). Для этого к пластине, нагруженной температурной нагрузкой и моментом, надо приложить обратный момент. Это значит, что моменты взаимно уничтожаются и остается только температурная нагрузка.

Зависимости для напряжений определяются как разность напряжений (14) и (9) при значении момента :

(16)

Положение нейтрального слоя определяется из уравнения (4).

Прогиб пластины находится интегрирование уравнения

(17)

В двухслойных пластинах с тонким верхним слоем при уравнения (16) значительно упрощаются, поскольку

Положение нейтрального слоя из (4) определяется как

(18)

Это означает, что нейтральный слой расположен в середине второго слоя. В этом случае момент инерции двухслойной пластины единичной ширины определяется зависимостью

Уравнения (16) для расчета напряжений в слоях принимают вид:

(19)

Второе слагаемое в скобках для много меньше единицы. Так, при и имеем , что много меньше единицы. Расчетная формула для упрощается:

(20)

Из (19) следует, что напряжения в тонком слое определяются прежде всего разницей коэффициентов термического расширения с нижнем слоем. При напряжение стремится к нулю; а при напряжение соответствует сжатию тонкого слоя; при имеем напряжение растяжения.

При сравнении напряжений в первом и втором слоях (формулы (19)) видно, что много меньше . Так, при напряжение составляет лишь от . Поскольку такие напряжения фактически не приводят у изменению размера пластины, полная деформация пластины равна термической. Отсюда деформация тонкого слоя составляет , что подтверждает справедливость уравнения (20).

Кривизна пластины с тонким верхним слоем определяется по формуле, полученной упрощением (17):

(21)

Расчет температурных напряжений в двухслойной пластине

Исходные данные: , , материал кристалла – GaAs(III); ; материал подложки – 29Н; ; ; ; .

Используем базовые уравнения (16) расчета напряжений в двухслойной структуре при термическом нагружении:

в первом слое

,

во втором слое

.

Расчет моментов инерции сечения. Для расчета положения нейтрального слоя воспользуемся уравнением (4):

Поскольку , нейтральный слой будет располагаться во втором слое.

Моменты инерции слоев единичной ширины определяются по формулам:

для первого слоя:

^;

для второго слоя:

^.

Расчет напряжений. Зависимости напряжений в слоях от координаты запишутся в виде:

для первого слоя:

для второго слоя:

Результаты расчета напряжений в слоях

Координата точки , мм	Напряжение в первом слое , МПа	Напряжение во втором слое , МПа

Расчет радиуса кривизны. Для расчета радиуса кривизны в двухслойной структуре воспользуемся выражением (17)

Подставим исходные данные и значения в приведенное уравнение, получим кривизну:

Расчет двухкоординатного зеркала на торсионных подвесах

1. Расчет зеркального элемента на торсионах.

Размеры зеркального элемента следующие:

Основание зеркального элемента – кремний поликристаллический несет металлический (Ni) отражающий слой толщиной . Торсионы одноветьевые.

Вес зеркального элемента.

Расчет длины торсиона проводим из условия поворота зеркального элемента на вокруг оси торсионов. Поскольку кремний при нормальной температуре относится к хрупким материалам, разрушение торсионов при нормальной нагрузке произойдет за счет действия главных растягивающих напряжений, равных главным касательным напряжениям . С учетом изложенного длину торсиона определим из допускаемых напряжений на растяжение при коэффициенте запаса прочности

Сечение торсиона в соответствии с заданием .

Момент инерции

Для соотношения коэффициенты определяем из таблицы №2

,

Сечение торсиона

Момент сопротивления сечения торсиона

Крутящий момент в сечении торсиона

Длина торсиона при равна

Эпюра изгибающих моментов зеркального элемента для торсионов

Максимальный изгибающий момент в торсионе зеркального элемента

Максимальное растягивающее напряжение в заделке торсиона (на раме и зеркальном элементе) при изгибе для угла закручивания равно

- момент сопротивления сечения торсиона при изгибе.

Коэффициент допустимой динамической перегрузки составит для угла отклонения

2. Расчет рамы на торсионах.

Ширину рамы принимаем ,

Вес рамы равен

длина контура рамы;

ширина контура рамы;

толщина рамы;

плотность кремния.

Расчет длины торсиона проводим из условия поворота рамы на вокруг оси торсиона. Допускаемое напряжение в торсионе Сечение торсиона рамы принимаем равным .

Для соотношения коэффициенты определяем из таблицы №2

,

Момент сопротивления сечения торсиона равен

Момент инерции сечения торсиона

.

Крутящий момент на торсионе рамы, соответствующий допускаемым напряжениям равен

Длина торсиона рамы при угле закручивания

Максимальный изгибающий момент в торсионах рамы будет равен

Максимальное растягивающее напряжение в торсионе рамы равно

Коэффициент допустимой динамической нагрузки

3. Расчет прогиба зеркального элемента в рабочем диапазоне температур.

Из таблицы принимаем для двухслойной структуры : , толщины слоев . Моменты инерции определяются как

формула для расчета имеет вид

Подставляя значения при , получаем максимальный прогиб в центре зеркального элемента (в ).

4. Расчет резонансной частоты микрозеркала.

Момент инерции зеркального элемента включающего слой и , определяется суммой

где массы слоя металлического покрытия и слоя поликремния

Суммарный момент инерции зеркального элемента равен

Резонансная циклическая частота определяется по формуле

Момент инерции микрозеркала определяется как

где момент инерции зеркального элемента и рамы.

где

Общий момент инерции микрозеркала определим как

Резонансная частота микрозеркала равна