§2.2. Приведение квадратичной формы к главным осям.

Теория приведения квадратичной формы к каноническому виду, изложенная в предыдущем параграфе, построена по аналогии с геометрической теорией центральных кривых второго порядка, но не может считаться обобщением этой последней теории. В самом деле, в нашей теории допускается использование любых невырожденных линейных преобразований, в то время как приведение кривой второго порядка к каноническому виду достигается применением линейных преобразований весьма специального вида (2), являющихся вращениями плоскости. Эта геометрическая теория может быть, однако, обобщена на случай квадратичных форм от неизвестных с действительными коэффициентами, если потребовать, чтобы матрица преобразованиябыла ортогональной. Такое преобразование называетсяортогональным, а сама процедура приведением квадратичных форм к главным осям.

ТЕОРЕМА. Каждая квадратичная форма некоторым ортогональным преобразованием может быть приведена к каноническому виду.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Будем смотреть на матрицу квадратичной формы как на матрицу некоторого линейного оператора в евклидовом пространстве. Если матрица квадратичной формы, то она симметрическая порядка. Еслинекоторый ортонормированный базисмерного евклидова пространства, то матрицазадаёт в этом базисе симметрический оператор. По основной теореме о симметрических операторах в евклидовом пространстве в подходящем ортонормированном базисеего матрицабудет диагональной. Пустьматрица перехода отк, тогда.

Но матрица , как матрица перехода от одного ортонормированного базиса к другому, по теореме 2§1.6 будет ортогональной, а значит, . Поэтому . А именно так преобразуется матрица квадратичной формы, подвергнутой линейному преобразованию неизвестных с матрицей.

Итак, преобразование неизвестных, имеющее матрицу ортогонально, а матрица, будучи диагональной, соответствует квадратичной форме канонического вида. □

Тот факт, что матрица линейного оператора в базисе, составленном из собственных векторов, имеет диагональный вид (с собственными значениями по главной диагонали) [2], даёт нам метод практического отыскания канонического вида квадратичной формы, а также самого этого ортогонального преобразования.

Пример 2. Найти ортогональное преобразование, приводящее квадратичную форму

к каноническому виду и написать этот канонический вид.

Решение. Матрица этой формы имеет вид

,

Найдём её характеристический многочлен:

.

Таким образом, матрица имеет двукратный кореньи простой корень. Следовательно, канонический вид данной квадратичной формы будет

.

Найдём ортогональное преобразование, осуществляющее это приведение. Для этого найдём собственные векторы, соответствующие найденным собственным значениям , т. е. решим системы линейных однородных уравненийдля каждого.

При имеем

.

Откуда , т. е. имеются 2 независимые переменные, и фундаментальный набор решений будет:

Применив к ним процесс ортогонализации, получим:

При имеем

.

Данная система эквивалентна следующей:

,

решением которой будет

.

Остаётся нормировать систему :

Таким образом искомое преобразование имеет вид:

Для того чтобы найти матрицу преобразования , нужно выразить переменныечерез, т. е. найти матрицу, обратную матрице преобразования. А так как , то достаточно транспонировать матрицу преобразования . Окончательно имеем:

.