30. Алгоритмы поиска. Использование деревьев в задачах поиска: бинарные, сбалансированные, красно-черные деревья поиска.

Асимптотические оценки времени поиска

Алгоритм + Структура данных	Удачный поиск в среднем	Неудачный поиск в среднем	Вставка в среднем	Удачный поиск в худшем случае	Вставка в худшем случае
Последовательный поиск в неупорядоченном массиве	N/2	N	1	N	1
Последовательный поиск в упорядоченном массиве	N/2	N/2	N/2	N	N
Бинарный поиск в упорядоченном массиве	log N	log N	N/2	log N	N
Поиск в бинарном дереве поиска	log N	log N	log N	N	N
Поиск в сбалансированном дереве	log N	log N	log N	log N	log N

Задача поиска: пусть имеется таблица записей R1, R2,…RN, где каждой записи соответствуют ключи K1, K2,…KN. Требуется найти запись с данным ключом K. У задачи может быть два исхода: удачный, когда найдено положение нужного ключа, и неудачный, когда установлено, что искомого ключа в таблице нет.

Последовательный поиск

• Алгоритм последовательного поиска (sequential search) в неупорядоченной таблице

Условия окончания поиска:

1. Элемент найден, возвращается номер искомого ключа.

2. Весь массив просмотрен и совпадения не обнаружено, возвращается N+1.

Следует обратить внимание, что если элемент найден, то он найден вместе с минимально возможным индексом, т. е. это первый из таких элементов. Равенство i=N свидетельствует, что совпадения не существует.

Function SeqSearch(x: Tkey; var T: Table): Index;

var i: Index;

begin i:=1;

while (i<=N) and (x<>T[i].key) do i:=i+1;

SeqSearch:=I end;

Время работы зависит от количества сравнений ключей С и параметра успеха S =1 при удаче и 0 при неудаче. Последовательный поиск, реализованный на массиве, производит N сравнений для неуспешного поиска, и в среднем N/2 сравнений для успешного, если мы предположим, что любая из записей имеет равную вероятность быть искомой, то среднее количество сравнений будет: (1+2+...+N)/N = (N+1)/2 N/2

• Последовательный поиск с помощью барьерного элемента

Известен очевидный способ улучшения последовательного поиска с помощью барьерного элемента. Здесь использован принцип: если во внутреннем цикле программы проверяются два или более условия, нужно постараться оставить только одно сравнение.

1. Добавляется фиктивная запись в конец таблицы для хранения искомого ключа.

2. В цикле выполняется одна проверка

3. Элемент на позиции N+1 используется как барьерный.

При поиске по большим таблицам скорость улучшенного алгоритма увеличивается на 30% по сравнению с первым вариантом.

Function QSeqSearch(x: Tkey; var T: Table): Index;

var i: Index;

begin i:=1;

T[N+1].key:=x;

while x<>T[i].key do i:=i+1;

QSeqSearch:=i end;

• Алгоритм последовательного поиска в упорядоченной таблице

Function SSeqSearch(x: Tkey; var T: Table): Index;

var i: Index;

begin i:=1;

T[N+1].key:=x+1;

while x>T[i].key do i:=i+1;

if x=T[i].key then SSeqSearch:=i

else SSeqSearch:=N+1 end;

При успешном поиске в худшем случае (проверка всех ключей) N и порядка N/2 в среднем. В случае неуспеха поиск может с равной вероятностью закончится на любом из N+1 интервалов, задаваемых N числами: (1 + 2 + … + N + N)/N = (N + 3)/2 и число сравнений также будет порядка N/2. Таким образом, в случае отсутствия искомого элемента алгоритм последовательного поиска в упорядоченной таблице работает вдвое быстрее, чем алгоритм поиска в неупорядоченной таблице.