Операции над матрицами

Для матриц определены операции сложения и умножения на число, вполне аналогичные таким операциям для векторов:

1) при сложениидвух матриц одинакового размера снова образуется матрица того же размера, причем матричные элементы матрицы-суммы являются суммами матричных элементов матриц-слагаемых с одинаковыми индексам (т.е. еслиА + В = С, тоa_ij +b_ij =c_ij );

2) при умножении матрицы на число все ее элементы умножаются на это число (если  А = В, то  а_ij=b_ij).

Для квадратных матриц одинакового размера определена еще одна важная операция — умножение матрицдруг на друга. В результате перемножения двух квадратных матриц получается матрица того же размера, что и матрицы-сомножители. Матричные элементы матрицы-произведения находятся по следующему правилу. Для расчета матричного элемента с индексамиiиjнеобходимо:

• выделить в первой матрице-сомножителе строкус номеромi,

• выделить во второй матрице столбецс номеромj,

• рассчитать скалярное произведение выделенного вектора-строки в первой матрице на выделенный вектор-столбец во второй матрице.

Таким образом, чтобы найти произведение двух матриц, необходимо рассчитать скалярные произведения каждой строки первой матрицы на каждый столбец второй матрицы.

В общем случае результат перемножения двух матриц зависит от порядка расположения сомножителей. В том случае, когда такой зависимости нет и выполняется равенство А  В = В  А , матрицы называются коммутирующими. В противном случае матрицы будутне коммутирующими.

Среди всех матриц данного размера имеется одна особая матрица, называемая единичной (она обозначается символом Е), для которой выполняется условие:АЕ=ЕА=А, гдеА— любая матрица. Другими словами, единичная матрица выполняет при умножении матриц ту же роль, что число 1 при умножении чисел.

Типы матриц

Существует обширная классификация матриц. Отметим некоторые, наиболее часто употребляемые типы матриц.

Матрицы, для которых выполняется условие АВ=ВА=Е, называютсявзаимно обратными. В этом случае, обычно, употребляются специальные обозначения:В =А^–1иА=В^–1в которых вышеприведенное условие выглядит так:

А А^–1 =А^–1 А = Е и В В^–1= В^–1 В =Е.

Если мы располагаем некоторой матрицей А, то мы всегда можем рассчитать и обратную ей матрицуА^–1. Элемент обратной матрицы с индексамиiиj, рассчитывается по формуле:

(а_ij)^–1=A_ji /Det(A)

Другими словами, надо рассчитать алгебраическое дополнение элемента a_ji(он расположен симметрично данному элементуа_ij, относительно главной диагонали матрицы) и разделить его на определитель исходной матрицы. Из этого правила вытекает одно ограничение: если определитель матрицы равен нулю, то у нее нет обратной матрицы. Такие матрицы, не имеющие обратных, называютсяособенными.

Для примера найдем обратную матрицу для матрицы А, приведенной выше. Вначале рассчитаем алгебраические дополнения для всех элементов прямой матрицы

Аналогично получим остальные значения:

а₁₃= 8А₁₃= +1(31 – 54) = –17

а₂₁= 3А₂₁= –1(45 – 81) = –12

а₂₂= 5А₂₂= +1(25 – 84) = –22

а₂₃= 7А₂₃= –1(21 – 44) = +14

а₃₁= 4А₃₁= +1(47 – 85) = –12

а₃₂= 1А₃₂= –1(27 – 83) = +10

а₃₃ = 5А₃₃ = +1(25 – 43) = –2

Теперь можно записать обратную матрицу в виде, где общий множитель вынесен за знак матрицы:

Правильность найденного результата легко проверить прямым перемножением обеих матриц.

Две матрицы, отличающиеся тем, что строки одной из них в точности совпадают со столбцами другой (с одними и теми же номерами), называются взаимно транспонированными. Для заданной матрицыА найти транспонированную очень просто — надо отразить исходную матрицу относительно главной диагонали, т.е. превратить строки в столбцы, а столбцы в строки. Например, для нашей матрицыАтранспонированная ей матрица будет иметь вид:

Для симметричных(относительно главной диагонали) матриц операция транспонирования, не приводит к каким-либо изменениям, т.е.А=А^т. Для некоторых матриц совпадают друг с другом транспонированная и обратная матрицы:А^1=А^т. Такие матрицы относятся к типуортогональных. Для них нахождение обратной матрицы сводится к ее транспонированию.

Некоторые особенности имеются у матриц, элементами которых являются комплексные числа. Для таких матриц можно определить операцию комплексного сопряжения, в результате которой все комплексные элементы исходной матрицы заменяются на комплексно сопряженные им (при этом к символу матрицы добавляется верхний индекс *). Последовательное проведение операций транспонирования и комплексного сопряжения называется эрмитовым сопряжением(или простосопряжением, что отмечается верхним индексом⁺ ). Например, для комплексной матрицы

комплексно сопряженная и сопряженная матрицы будут иметь вид:

Если для комплексной матрицы выполняется условие: С=С⁺, то она называетсясамосопряженнойилиэрмитовойматрицей. Если для комплексной матрицы выполняется условие:С^1=С⁺, то она называетсяунитарнойматрицей.

Можно заметить, что эрмитовы матрицы играют в множестве комплексных матриц ту же роль, что и симметричные матрицы в множестве действительных матриц. В том же отношении аналогичными являются унитарные и ортогональные матрицы.