Матрицы

Матрицы являются математическими объектами, которые, подобно векторам, широко используются для моделирования различных физических и химических структур и их свойств. Матрица— таблица, состоящая изстрокистолбцов. Элементами матрицы (матричными элементами) являются чаще всего числа. Однако, в качестве матричных элементов могут выступать и объекты другого вида —векторы, функции, другие матрицыи т.д. В общем случае, количества строк и столбцов матрицы могут отличаться. Однако, наиболее часто используютсяквадратныематрицы, в которых число строк равно числу столбцов. Квадратную матрицу принято изображать следующим образом:

Первый индекс матричного элемента служит номером строки, а второй — номером столбца.

Матрицу можно рассматривать как вектор-столбец, элементами которого являются вектор-строки, или, наоборот, как вектор-строку, элементами которой являются вектор-столбцы. Для матриц можно определить несколько полезных характеристик.

Определитель.Подопределителемилидетерминантомматрицы (обозначается какDetили) понимается некотороечисло, которое можно рассчитать через матричные элементы по известным правилам. Рассмотрим эти правила подробно.

В основе вычисления определителя лежит процедура разложения по элементам строки. Для ее выполнения необходимо:

• выбрать некоторую строку (обычно выбирается та строка, которая содержит наибольшее количество нулей),

• записать первый элемент выбранной строки и умножить его на вспомогательную матрицу (минор), которая получается из исходной посредством вычеркивания строки и столбца, на пересечении которых стоит выписанный элемент,

• выполнить описанный выше прием для всех элементов выделенной строки,

• каждое произведение дополнительно умножить на (–1)^i+j, гдеiиj— индексы элемента выделенной строки,

• сложить все полученные таким образом произведения (элементов выделенной строки на вспомогательные матрицы-миноры).

Полученная сумма и будет представлять собой разложение определителя по элементам данной строки. Это разложение содержит матрицы, размер которых меньше на единицу, чем у исходной матрицы. Теперь необходимо описанную процедуру разложения по элементам строки применить к каждой из этих вспомогательных матриц. В результате получим разложение, содержащее матрицы еще меньшего размера. Продолжая эту процедуру, мы придем к матрицам размера 1, представляющим собой обычные числа. Теперь необходимо выполнить все арифметические операции умножения и сложения. В результате получим некоторое число, которое и будет определителем исходной матрицы.

Рассмотрим пример вычисления определителя. Пусть имеется матрица размера (33):

Выберем для разложения первую строку. Выполним первый этап разложения и получим сумму трех произведений элементов первой строки на вспомогательные матрицы размера (22):

Выполним второй этап, подвергнув процедуре разложения вспомогательные матрицы размера (22) и получим совокупность чисел, связанных определенными операциями умножения и сложения: 2(55 – 71) – 4(35 – 74) + 8(31 – 54). Выполним арифметические действия и получим конечный результат:

2 (25 – 7) – 4(15 – 28) + 8(3 – 20) =

= 2 (18) – 4(–13) + 8(–17) = 36 + 52 – 136 = – 48

Полученное число и равно определителю матрицы: Det(A) = – 48. Подчеркнем, что для разложения определителя можно выбирать любую строку и любой столбец на любой из стадий вычисления.

Перманент.Перманент — это число, которое рассчитывается во всем аналогично определителю, за исключением того, что множители вида (–1)^i+j вставляться не должны. Перманент, поэтому, иногда называют плюс-определителемматрицы. Так, для приведенного выше примера перманент будет равен:

Р (А) = 2(25 + 7) + 4(15 + 28) + 8(3 +20) =

= 2 (32) + 4(43) + 8(23) = 64 + 172 + 184 = 420.

Алгебраическое дополнение.Алгебраическое дополнение— это число, которое можно поставить в соответствие каждому матричному элементу. Чтобы рассчитать алгебраическое дополнение для элементаа_ij необходимо вычеркнуть строку с номеромiи столбец с номеромjиз исходной матрицы и рассчитать определитель матрицы меньшего размера, которая получится в результате такого вычеркивания. Кроме того, этот определитель необходимо умножить на множитель (–1)^i+j. Алгебраическое дополнение обозначается той же буквой, что и матричный элемент, но только прописной (А_ij). Очевидно, что определитель матрицы может быть выражен как сумма произведений элементов любой строки (столбца) на их алгебраические дополнения:

Det (A) = a_i1  A_i1 + a_i2  A_i2 + . . . . + a_in  A_in =  (a_ik  A_ik)

След. Следом называется число, равное сумме всех диагональных (у которых оба индекса одинаковы) элементов матрицы: Sр (A) = a_ii . Для приведенного выше примера матрицыАслед будет равен: 2 + 5 + 5 = 12