Координатное представление векторов

Координаты вектора — это числа х₁,х₂,х₃, …, являющиеся коэффициентами ЛК типа:х =х₁е₁ +х₂е₂ +х₃е₃+ . . . ., где е₁, е₂, е₃, … — базисные векторы (базис). Координаты векторов принято записывать двумя альтернативными способами:

Вектор-столбец принято отмечать чертой над символом вектора, а вектор-строку — чертойподсимволом вектора. (Иногда вектор-столбцы называютконтравариантнымивекторами или контравекторами, а вектор-строки —ковариантнымивекторами или ковекторами.) С математической точки зренияконтра-иковекторы эквивалентны, однако они могут использоваться для обозначения различных типов физических объектов.

Важную роль играет следующее обстоятельство: выбор базиса неоднозначен и в любом ЛП возможных базисов бесконечно много, однако все они содержат одно и то же число базисных векторов. Это фундаментальное число называется размерностьюЛП.

Координатное представление позволяет очень просто и наглядно выполнять операции над векторами. При сложении двух векторов складываются их координаты, расположенные на одинаковых позициях. Например:

(1, 2, 3) + (2, –5, 8) = (1 + 2, 2 – 5, 3 + 8) = (3, –3, 11)

При умножении вектора на число все его координаты умножаются на это число. Например:

4 • (2, –5, 8) = (4 • 2, – 4 • 5, 4 • 8) = (8, –20, 32)

Если мы имеем линейную комбинацию, то любая координата результирующего вектора будет получаться как линейная комбинация координат исходных векторов, расположенных на соответствующих позициях. Например:

2 • (1, 3) – 4 • (5, 2) = (2 • 1 – 4 • 5, 2 • 3 – 4 • 2) = (–18, –2)

Координатное представление базисных векторов имеет особенно простой вид: каждый базисный вектор имеет одну координату (под номером, совпадающим с номером данного базисного вектора), равную единице, а все остальные его координаты равны нулю:

е₁= (1, 0, 0, …)е₂= (0, 1, 0, …) и т.д.

Используя координатное представление, можно ввести еще одну операцию, которая выполняется над парой векторов. Эта операция называется скалярным умножениемвекторов и изображается одним из следующих способов:

 = (x, y) =x  y=x | y

Сомножитель, идущий первым, всегда представляет собой ковектор (вектор-строку), тогда как второй сомножитель всегда является контравектором (вектор-столбцом). Результатом этой операции является число, называемоескалярным произведениемвекторов, значение которого можно рассчитать через координаты векторовхиу по формуле :

Таким образом, чтобы найти скалярное произведение двух векторов, необходимо первый из них записать в форме строки, а второй — в форме столбца. Аналогичным образом можно найти и скалярный квадрат вектора, т.е. произведение вектора на себя:

Cкалярный квадрат вектора называют также квадратом модулявектора, поскольку корень квадратный из произведения вектора на себя называетсямодулемвектора

С помощью скалярного умножения можно ввести метрические понятия в модель ЛП, т.е. определить длины векторов и углы между ними. В качестве длинывектора принимается величина его модуля. Уголмежду двумя векторами определяется по формуле:

Отметим следующее обстоятельство: при умножении вектора на некоторое число его модуль (длина) увеличивается враз, а ориентация (угол относительно всех остальных векторов) остается неизменным. Таким образом, среди всех векторов можно выделить подмножества, в которые входят все векторы одной и той же ориентации, но отличающиеся друг от друга длиной. Такие подмножества сами по себе образуют одномерные ЛВП и называютсялучами. В каждом луче можно выделить один особый вектор, длина которого равна единице. Такой вектор называетсянормированным, его можно рассматривать в качестве представителя данного луча. Любой другой вектор можно получить из нормированного посредством умножения на некоторое число или свести к нормированному посредством операции, называемойнормировкой(нормированием). При нормировке каждая координата вектора делится на величину модуля этого вектора. Например, двумерный векторх= (6, 8) имеет квадрат модуля:х²= 6²+ 8²= 100 и, следовательно, является ненормированным. Для нормировки разделим все координаты на 10 и получим нормированный векторх' = (6/10, 8/10), совпадающий по направлению с исходным (т.е. принадлежащий тому же лучу), но имеющий единичную длину.