Векторы

Векторомназывается математический объект, для которого определено выполнение двух алгебраических операций:

операция сложения двух векторовa ₊ b ₌ c

операция умножения векторана число  •а ₌ b .

Наиболее существенной особенностью этих операций является то, что в результате их выполнения всегда получается вектор того же типа, что и исходные векторы. Поэтому, имея некоторый исходный набор векторов, мы можем постепенно увеличивать его посредством операций сложения и умножения на числа. В конце концов мы придем к такому множеству векторов, которое уже больше не будет расширяться, а будет замкнутым относительно указанных операций. Такое замкнутое множество векторов называется векторным пространством.

Если при выполнении указанных операций выполняются дополнительные условия линейности:

(a ₊ b) ₌ a ₊ b

(+)a= a + b

то получающееся пространство называется линейным пространством(ЛП). ЛП может, наряду с группами симметрии, служить еще одним примеромматематических структур, представляющих собой замкнутые множества однотипных и упорядоченных определенным образом (с помощью алгебраических операций) объектов.

Линейные комбинации

Располагая операциями сложения векторов и умножения их на числа можно построить и более сложную конструкцию типа:

a ₊ b ₊ c ₊ ..... ₌ x

которая называется линейной комбинацией(ЛК) векторовa, b, c, … c коэффициентами,,, …, соответственно. Понятие ЛК позволяет сформулировать несколько общих правил: 1) всякая ЛК любых векторов некоторого ЛП также является вектором этого же самого ЛП; 2)любой вектор некоторого ЛП может быть представлен в виде ЛК нескольких векторов того же самого ЛП; 3) в любом ЛП существует такой выделенный набор векторов, называемыйбазисным набором(или простобазисом), что все, без исключения, векторы этого ЛП могут быть представлены в виде ЛК этих выделенных базисных векторов. На векторы, выбираемые в качестве базисных, накладывается одно важное условие: они должны бытьлинейнонезависимы между собой (не должны выражаться друг через друга).

Эти правила дают возможность ввести специальный способ описания любого ЛП. Выберем базисный набор и разложим все интересующие нас векторы по этому базису (т.е. представим их в виде ЛК базисных векторов); тогда каждый вектор можно однозначно задать посредством набора коэффициентов ЛК, соответствующей данному вектору. Такие коэффициенты называются координатамивектора (по отношению к заданному базису). Координаты вектора — это обыкновенные числа, и координатное представление вектора позволяет описать его посредством только совокупности чисел, независимо от конкретного физического смысла, вкладываемого нами в понятие вектора.

Рассмотрим конкретный пример. Пусть у нас имеется набор различных смесей двух чистых химических веществ: воды и спирта. Среди всех возможных смесей выделим две особых:

смесь S₁, содержащая 100 % воды и 0 % спирта;

смесь S₂, содержащая 0 % воды и 100 % спирта.

Ясно, что произвольную смесь можно представить в виде ЛК этих двух базисных смесей:

S=n₁*S₁+n₂*S₂

и полностью охарактеризовать ее всего двумя числами-координатами: n₁иn₂. Другими словами, при заданном базисном наборе, мы можем установить эквивалентность произвольной химической смеси и набора чисел:S ~ {n₁,n₂}. Теперь достаточно заменить слово “смесь” на слово “вектор”, чтобы получить модель ЛП, описывающую множество смесей двух веществ.