Вопросы для самоконтроля

1. Дайте определение понятиям "симметрия", "операция симметрии" и "элемент симметрии".

2. Перечислите известные Вам разновидности симметрии.

3. Перечислите все пространственные операции симметрии.

4. Дайте определение точечной группы симметрии. ТГС состоит их операций или элементов симметрии?

5. Каким образом связаны между собой элементы ТГС?

6. Дайте определение понятия "класс эквивалентности". Являются ли такие классы перекрывающимися?

7. Дайте определение понятиям "тип симметрии", "характер", "таблица характеров".

8. Для каких целей можно использовать типы симметрии?

9. Сколько типов симметрии имеет та или иная ТГС?

10. Дайте определение понятиям "вектор" и "векторное пространство". Какие векторные пространства называются линейными?

11. Дайте определение операциям, которые можно выполнять с векторами: сложение, умножение на число, разложение по базису, скалярное умножение, возведение в квадрат.

12. Для каких целей используется координатное представление векторов? Сколько координатных представлений может иметь заданный вектор?

13. В чем различие между векторами-строками и векторами-столбцами?

14. В чем различие между действительными и комплексными векторами?

15. В каких случаях необходимо использовать функциональное представление векторов?

16. Дайте определение понятиям "бра-вектор" и "кет-вектор".

17. Приведите формулы для вычисления модуля вектора и угла между двумя векторами.

18. В чем различие между двумя векторами, а) принадлежащими одному лучу? б) не принадлежащими одному лучу?

19. Как производится нормировка вектора?

20. Дайте определение понятиям "матрица", "транспонированная матрица", "обратная матрица", "ортогональная матрица", "самосопряженная матрица", "унитарная матрица".

21. Дайте определение операциям, которые можно выполнять с матрицами: сложение, умножение на число, скалярное умножение, транспонирование, комплексное и эрмитово сопряжение.

22. Приведите алгоритмы вычисления определителя, перманента и следа матрицы.

23. Приведите алгоритм нахождения обратной матрицы.

24. Какие матрицы можно использовать в качестве линейных операторов?

25. В чем различие между матричным преобразованием вектора-строки и вектора-столбца?

26. Дайте определение понятиям "собственный вектор" и "собственное значение". Сколько собственных векторов и собственных значений может иметь матрица-оператор?

27. Приведите алгоритм нахождения спектра матрицы-оператора.

28. В каких областях физики и химии находят применение математические модели вектора, векторного пространства, матрицы, линейного оператора?

Типовые задачи

1. Для заданной молекулы перечислить все операции симметрии и изобразить графически расположение соответствующих им элементов симметрии.

2. Для заданного набора операций симметрии или ТГС привести несколько примеров молекул, обладающих указанной симметрией.

3. Пользуясь таблицами характеров ТГС (Приложение), отнести к определенным типам симметрии проекции векторов импульса (p_x,p_y,p_z) и момента импульса (L_x,L_y,L_z).

4. Для заданных векторов построить вектор — линейную комбинацию с указанными коэффициентами и нормировать его. Рассчитать углы между исходными векторами и их линейной комбинацией.

5. Осуществить преобразование заданного вектора в форме столбца и строки посредством некоторой матрицы (линейного оператора).

6. Для заданной матрицы найти транспонированную и обратную матрицы.

7. Для заданной матрицы рассчитать определитель, перманент и след.

7. Для заданной матрицы найти собственные векторы и собственные значения.

8. Построить матричные представления для заданных операций симметрии, указать их инвариантные подпространства.