ТФКП + Механика сплошных сред / Функции комплексного переменного

Функции комплексного переменного

Говорят, что в области определена функция комплексного переменного , если каждой точке поставлено в соответствие одно (однозначная функция) или несколько (многозначная функция) значений .

Таким образом, функция осуществляет отображение точек комплексной плоскости на соответствующие точки комплексной плоскости .

Пусть и . Тогда зависимость между комплексной функцией и комплексной переменной может быть описана с помощью двух действительных функций и действительных переменных и

Пример 1. Пусть .

Полагая , , получим

Следовательно, равенство равносильно двум равенствам

Пусть в плоскости кривая задана уравнением . Чтобы найти уравнение образа этой кривой в плоскости при отображении помощью функции , нужно исключить и из уравнений

Если кривая задана параметрическими уравнениями

или ,

то параметрические уравнения ее образа при отображении будут

Пример 2. В какую кривую отображается единичная окружность с помощью функции ?

Так как по условию , то . Итак, образом окружности в плоскости является окружность в плоскости , проходимая дважды. Это следует из того, что поскольку , то , так что когда точка описывает полную окружность , то ее образ описывает окружность дважды.

Пример 3. Найти образ окружности при отображении .

Пусть . Данное уравнение окружности можно записать в виде

Отделим действительную и мнимую части функции . Имеем

Отсюда

Подставляя , в и , получим параметрические уравнения образа окружности

или .

Итак, образ есть единичная окружность, проходимая дважды, что следует из того, что и формул (*).

Основные элементарные функции комплексного переменного

1. Дробно-рациональная функция

в частности, рациональной функцией является многочлен

2. Показательная функция определяется как сумма абсолютно сходящегося во всей комплексной плоскости степенного ряда

Показательная функция обладает следующими свойствами:

а) , где и – любые комплексные величины;

б) , т.е. является периодической функцией с периодом .

3. Тригонометрические функции и определяется степенными рядами

абсолютно сходящимися при любом комплексном значении . Функции и – периодические с действительным периодом и имеют только действительные нули и соответственно, где .

Для функций , и имеют место формулы Эйлера

откуда

Функции и определяются равенствами

Для тригонометрических функций остаются в силе все формулы тригонометрии.

4. Гиперболические функции , , , определяется равенствами

5. Тригонометрические и гиперболические функции связаны между собой следующими соотношениями:

6. Логарифмическая функция, где , определяется как функция, обратная показательной, причем

Эта функция является многозначной. Главным значением называется то значение, которое получается при ; оно обозначается :

Очевидно, что

Справедливы следующие соотношения:

7. Обратные тригонометрические функции , , , определяются как функции, обратные соответственно к функциям , , , .

Например, если , то называется арксинусом числа и обозначается .

Все эти функции являются многозначными и выражаются через логарифмические функции

Главные значения обратных тригонометрических функций , , , получаются, если брать главные значения соответствующих логарифмических функций.

8. Общая степенная функция , где – любое комплексное число, определяется равенством

Эта функция, вообще говоря многозначная; ее главное значение равно

9. Общая показательная функция ( – любое комплексное число) определяется равенством

Главное значение этой многозначной функции

Пример 4. Найти значение модуля функции в точке

Пусть . Тогда

Модуль функции равен

Полагая , найдем

Этот пример показывает, что тригонометрическая функция в комплексной области может принимать значения, по модулю большие единицы.

Пример 5. Записать в алгебраической форме .

Полагая в формуле (7) , получим

Отсюда

и

Пример 6. Записать в алгебраической форме .

Полагая в формуле (9) , получим

Далее

Окончательно

Пример 7. Решить уравнение .

Задача сводится к нахождению величины . Воспользуемся формулой (7)

Будем иметь

Или, учитывая то, что , получим

Так как

то

где . Следовательно,

№1. Для следующих функций найти действительную и мнимую части:

а) ; б) .

№2. Найти образ данной точки при указанных отображениях

а) ; б) .

№3. Установить на какие линии плоскости отображаются с помощью функции следующие линии плоскости :

а) ; б) ; в) ; г) .

№4. Найти образы координатных осей и при следующих отображениях:

а) ; б) .

№5. Выделить действительную и мнимую части у следующих функций:

а) ; б) ; в) ; г) ; д) .

№6. Найти значение модуля и главное значение аргумента данных функций в указанных точках:

а) ;

б) ; в) .

№7. Найти:

а) ; б) ; в) .

№8. Записать в алгебраической форме следующие комплексные числа:

а) ; б) ; в) ; г) .

№9. Решить следующие уравнения:

а) ; б) ; в) ; г) .