Кислицын Шабаров УМК Тепломассообмен / КраткийКонспектЛекций / Тема3-7

3.7. Нагрев или охлаждение неограниченной плоской пластины (стены).

Под неограниченной понимают пластину (стену), ширина и высота ко­то­рой много боль­­ше ее толщины. Изменение температуры в ней учитывается толь­ко по толщине (по оси x), а в направлениях y и z изменением температуры пре­небрегают. Рассмотрим наиболее важные (с практической точки зрения) слу­чаи нагрева или охлаждения такой пластины. Для обобщения приводимых фор­мул на возможно большее число конкретных задач будем ис­поль­зовать сле­ду­ющие обозначения: число Фурье (безразмерное время) Fo = at/L², без­раз­мер­ная координата X = x/L, критерий Био Bi = L/, где , a - коэффициенты теп­ло- и температуропроводности вещества пластины соответственно, t - обычное время (в секундах), x - обычная координата (в метрах), L - толщина пластины. Подробнее о числах Фурье и Био см. ниже в разделе 6 "Безразмерные пара­метры тепломассообмена".

Граничные условия первого рода.

Начальная температура пластины толщиной L равна T₀ = const. В мо­мен­т вре­мени t = 0 на ее поверхности x = 0 скачком устанавливается, а затем под­дер­жи­вается постоянная тем­пе­ра­ту­ра T₁, а на поверхности x = L поддерживается на­чальная температура T₀. Требуется найти рас­пре­де­ле­ние температуры по тол­щи­не пластины в любой момент времени T(x,t).

Точное решение этой задачи выражается с помощью бесконечного ряда, что неудобно для практических расчетов. Для инженерных расчетов исполь­зу­ют приближенные формулы, точность которых  1%:

Для малых чисел Фурье (Fo < 0.1):

. (3.7.1)

Для чисел Фурье Fo > 0.1:

. (3.7.2)

При Fo, как видно из формул (3.7.1) и (3.7.2), распределение температуры стремится, как и должно быть, к линейному стационарному распределению.

Пример. Начальная температура бетонной стены (a = 4.210^-7м²/с) равна T₀ = +10^оС. В мо­мен­т времени t = 0 на поверхности стены x = 0 скачком ус­та­нав­ли­ва­ет­ся, а затем поддерживается постоянная тем­пе­ра­ту­ра T₁ = +100^оС, а на поверхности x = L под­дер­жи­ва­ется начальная температура T₀. Толщина стены L = 0.5 м. Найти температуру в центре стены (x = 0.25 м) через t₁ = 10 часов и через t₂ = 2 суток прогрева.

Решение. В центре стены X = 0.5. Находим числа Фурье для t₁ и t₂: Fo₁ = = at₁/L² = 0.06, Fo₂ = = at₂/L² = 0.29.

В первом случае Fo₁ < 0.1, поэтому надо применить формулу (3.7.1):

=

= erfc(1.02) + erfc(5.1) - erfc(3.06) = 0.149.

Отсюда T =  (T₁ - T₀) + T₀ = 0.149(100-10) + 10 = 23.4^оС.

Во втором случае Fo₂ > 0.1, поэтому надо применить формулу (3.7.2):

= 0.464.

Отсюда T =  (T₁ - T₀) + T₀ = 0.464(100-10) + 10 = 51.7^оС, т.е. уже довольно близко к стационарному значению 55^оС.

Граничные условия третьего рода.

Начальная температура пластины толщиной L равна T₀ = const. В мо­мен­т вре­мени t = 0 на ее поверхностях x = 0 и x = L начинается теплообмен с ок­ру­жа­ю­щей средой с коэф­фициентом теплообмена . Тем­пе­ра­ту­ра окружающей сре­ды около разных поверхностей может быть разной: T₁ при x = 0 и T₂ при x = L. Тре­буется найти рас­пре­де­ле­ние температуры по толщине пластины в любой мо­мент времени T(x,t). Точное решение этой задачи вы­ражается с помощью бес­конечных функциональных рядов и мало пригодно для практи­ческих рас­че­тов. Для инженерных расчетов можно рекомендовать приближенную формулу:

, (3.7.3)

где вспомогательный параметр D вычисляется по формуле: .

Формула (3.7.3) универсальна: она пригодна как для несимметричного (T₁  T₂), так и для симметричного (T₁ = T₂) нагрева или охлаждения пластины. Точ­ность этой формулы зависит от числа Фурье. При Fo > 0.3 погрешность со­став­­ля­ет менее 1%. При Fo формула (3.7.3) дает точное стационарное рас­пре­деление тем­пе­ра­туры, как и должно быть. При малых числах Фурье (Fo < 0.3) погрешность увеличивается до 5%.

Пример. Начальная температура бетонной стены ( = 0.92 Вт/мК, a = 4.210^‑7м²/с) равна T₀ = 10^оС. Толщина стены L = 0.5 м. В мо­мен­т времени t = 0 на ее поверхностях x = 0 и x = L начинается теплообмен с окружающей средой с ко­эф­фициентом теплообмена  = 10 Вт/м²К. Тем­пе­ра­ту­ра окружающей среды T₁ = +100^оС при x = 0 и T₂ = +10^оС при x = L = 0.5 м. Найти температуру в цен­т­ре стены (x = 0.25 м) через t₁ = 10 часов и через t₂ = 2 суток прогрева.

Решение. Так же, как и в предыдущем примере, X = 0.5, числа Фурье для t₁ и t₂: Fo₁ = = at₁/L² = 0.06, Fo₂ = = at₂/L² = 0.29. Найдем критерий Bi и вспо­мо­га­тель­ный параметр D:

Bi = L/ = 100.5/0.92 = 5.43; = 1.784. Подставляем все это в формулу (3.7.3):