Кислицын Шабаров УМК Тепломассообмен / КраткийКонспектЛекций / Тема1-2

1.2.Уравнение теплопроводности.

1.2.1.Уравнение теплопроводности в неподвижной среде.

Выделим (мысленно) объем V, ограниченный замк­ну­той по­верх­нос­тью S (см. рисунок). Вы­делим на этой по­верхности малый участок dS с век­тором нормали . Так как участок вы­б­ран про­­извольно, то на­прав­ле­ние век­то­ра нормали, во­об­ще говоря, не совпадает с на­прав­ле­ни­ем век­­­тора гра­ди­ен­та температуры, поэтому ко­ли­чество тепла, про­те­ка­ю­ще­го за единицу вре­мени че­рез этот участок, пропорционально про­ек­ции вектора гра­ди­ен­та температуры на век­­тор нор­ма­ли: . Ко­ли­­чество тепла, про­те­ка­ю­ще­го за еди­ни­цу вре­­мени через всю поверхность S, равно интегралу от dq по этой по­верх­ности:

. (1.2.1)

Далее, внутри объема могут действовать источники те­пла - положительные или от­ри­ца­тель­ные. Например, в сре­де могут идти химические реакции с выделением или по­глощением теп­ла; может выделяться джоулево тепло, ес­ли течет электрический ток; может происходить вы­­де­ле­­ние тепла в результате поглощения электромагнитного из­лучения и т.п. Обозначим через f(x,y,z,t) ко­ли­чест­во вы­деляемого или по­гло­ща­е­мо­го тепла в единицу вре­ме­ни в единице объ­е­ма, причем бу­дем считать эту функцию положительной, если тепло вы­­де­ля­ет­ся, и от­ри­ца­тель­ной, если поглощается; раз­мер­ность этой функции: Вт/м³. Тогда ба­ланс энер­гии вы­де­лен­­но­го объема V можно записать в виде:

. (1.2.2)

Полученное равенство можно назвать уравнением те­п­лопроводности в ин­те­гральной фор­­­ме. Его левая часть выражает изменение количества тепла, на­хо­дя­ще­го­ся внутри объема V за еди­ницу вре­ме­ни, первое сла­га­е­мое в правой части - количество тепла, про­текающего за еди­ни­цу времени че­рез поверхность S, а последнее слагаемое - количество тепла, вы­де­лив­ше­е­ся или по­гло­тив­ше­еся (в зависимости от знака функции f) в объеме V за единицу времени. Об­ра­тим внимание на знак пе­ред первым интегралом в правой части уравнения (1.2.2). В фор­му­ле (1.2.1) подинтегральное выражение может быть как по­ло­жи­тель­ным, так и отрицательным в за­висимости от вза­им­но­го на­прав­ления векторов в ска­лярном произведении. По­ложительное зна­чение соответствует теплу, вы­­те­ка­ю­ще­му из объема, а отрицательное - втекающему в объ­ем. Значение интеграла (1.2.1) также может быть по­ло­жи­тель­ным или отрицательным: если из объ­е­ма вытекает тепла боль­ше, чем втекает, то интеграл положителен и нао­бо­рот. Поэтому в урав­нении (1.2.2) знак перед этим интегралом про­ти­во­­по­ло­жен знаку в формуле (1.2.1): по фи­зи­чес­кому смыслу знак про­­из­вод­ной от ко­ли­чес­т­ва тепла, содержащегося внутри объема (знак ле­вой части) должен быть по­ло­жи­те­лен, ес­ли это ко­ли­чество возрастает, т.е. ес­ли в объ­ем вте­ка­ет тепла больше, чем вы­те­кает, и наоборот.

Чтобы преобразовать уравнение (1.2.2) к дифференциальной форме, при­ме­ним к интегралу по поверхности (к первому интегралу в правой части) теорему Остроградского-Гаусса. С помощью этой теоремы уравнение (1.2.2) можно записать в виде:

.

Т.к. объем V был взят произвольно, то отсюда следует:

. (1.2.3)

Это общий вид уравнения теплопроводности в неподвижной среде. Если теплоемкость c, плот­­ность  и коэффициент теплопроводности  можно считать постоянными величинами, не за­ви­ся­щи­ми ни от координат, ни от времени, ни от температуры, то их можно вынести из-под знаков про­изводных, и уравнение (1.2.3) упрощается. Дивергенция градиента - это, как известно из ма­т­анализа, оператор Лапласа (Laplace), или Лапласиан, который принято обозначать знач­ком , по­э­тому уравнение (1.2.3) после деления обеих частей на c приобретает вид:

. (1.2.4)

Это "стандартный" вид уравнения теплопроводности в неподвижной среде.

Лапласиан температуры в различных системах координат имеет вид:

в декартовой:

, (1.2.5)

в цилиндрической:

, (1.2.6)

в сферической:

. (1.2.7)

В формулах (1.2.6) и (1.2.7) первые слагаемые справа от знака равенства на­зы­ва­ют­ся ра­ди­аль­ны­ми час­тями оператора Лапласа.

1.2.2.Уравнение теплопроводности в движущейся среде.

Ход рассуждений такой же, как и при выводе урав­нения теп­ло­проводности для не­­подвижной среды. Рас­смотрим среду, за­пол­нен­ную движущейся не­сжи­ма­е­мой жидкостью, и выделим (мы­с­лен­но) не­под­виж­ный объ­­ем V, ограниченный зам­к­ну­той по­верх­ностью S (см. ри­­су­нок). Вы­де­лим на этой по­верх­ности ма­лый учас­ток dS с век­тором нор­ма­ли . Так как участок выб­ран про­из­­воль­но, то на­прав­ление век­то­­ра нормали, вообще го­воря, не сов­падает ни с на­­прав­ле­ни­ем век­­тора гра­ди­ен­та тем­пе­ра­ту­ры, ни с на­прав­ле­ни­ем век­тора ско­рос­ти. Ко­личество теп­ла, про­те­ка­ю­щего за единицу вре­мени че­рез этот участок, оп­­ре­деляется сум­­мой потоков теп­ла за счет теп­ло­­про­вод­нос­ти и кон­век­­ции. Теп­ловой поток за счет теп­ло­про­вод­ности оп­ре­де­ляется так же, как и в пре­ды­ду­щем па­раграфе, а конвективный поток найдем следующим об­ра­зом. Ум­но­жив скалярно вектор ско­рос­ти на вектор нормали к участку dS, найдем про­­ек­цию скорости на вектор нормали. Умножив эту проекцию на площадь dS, най­дем объем жид­кости, протекающей за единицу времени через участок dS. Ум­ножив этот объем на плот­ность , найдем массу, а умножив мас­су на удель­ную теплоемкость c и температуру T, най­дем ко­ли­чест­во тепла, которое вместе с дви­жущейся жидкостью протекает за единицу вре­ме­ни че­рез участок dS; это и есть кон­век­тив­ный поток . Таким об­ра­зом, суммарный тепловой по­ток че­рез участок dS равен:

, (1.2.8)

а ко­ли­­чество тепла, про­те­ка­ю­ще­го за еди­ни­цу времени через всю поверхность S, равно ин­тег­ра­лу от dq по этой по­верх­ности.

Внутри объема V могут действовать ис­точ­ни­ки те­п­ла, объемную плот­ность которых, как и выше, обозначим через f(x,y,z,t). К перечисленным выше причинам объ­емного тепловыделения (химические реакции, джоулево теп­ло­вы­де­ле­ние и др.) в данном случае добавляется работа сил вязкости при движении жидкости, также приводящая к вы­де­ле­нию тепла, которое может быть учтено в функции f(x,y,z,t). С учетом всего этого, ба­ланс энер­­гии вы­де­лен­но­го объема V принимает вид:

(1.2.9)

Полученное равенство можно назвать уравнением теплопроводности в движущейся не­сжи­маемой жидкости в ин­тегральной фор­­ме. Первый интеграл в левой части выражает ко­ли­чест­во тепла, про­те­ка­ю­ще­го за еди­ни­цу времени че­рез поверхность S, второй - количество теп­ла, вы­де­лив­ше­е­ся или по­гло­тив­ше­еся (в зависимости от знака функции f) в объеме V за еди­ни­цу времени, а пра­вая часть выражает изменение количества тепла, находящегося внутри объ­е­ма V за еди­ницу вре­­ме­ни. Знак пе­ред пер­вым интегралом в левой части уравнения (1.2.9), так же, как в уравнении (1.2.2), выб­ран в соответствии с физическим смыслом про­ти­во­­по­ло­жно зна­ку в формуле (1.2.8): теп­ло­вой поток считается положительным, если он втекает в объем, и от­ри­ца­тельным, если вы­те­ка­ет из объема.

Чтобы преобразовать уравнение (1.2.9) к дифференциальной форме, при­ме­ним к интегралу по поверхности (к первому интегралу в левой части) теорему Ост­роградского-Гаусса:

.

Подставляя в (1.3.2), получаем:

.

Ввиду произвольности объема V находим:

,

или

. (1.2.10)

Из векторного анализа известно, что если - векторное поле, а U - скалярное поле, то . Воспользуемся этим равенством, чтобы раскрыть второе сла­га­е­мое в левой части уравнения (1.3.3). Считая, что c = const, находим:

,

т.к. для несжимаемой жидкости.

Таким образом, уравнение теплопроводности в несжимаемой жидкости можно записать в следующем общем виде:

. (1.2.11)

Если  = const, то div(gradT) = div(gradT) = T. Разделив обе части уравнения (1.2.11) на c, получаем уравнение теплопроводности в движущейся несжимаемой жидкости в "стан­дарт­ном" виде:

. (1.2.12)

Если объемное тепловыделение отсутствует (в том числе, если можно пренебречь ра­бо­той сил вязкого трения, например, для маловязкой жидкости), то f(x,y,z,t) = 0, и уравнение (1.2.12) уп­рощается:

. (1.2.13)

Второе слагаемое в левой части уравнений (1.2.12) и (1.2.13) выражает кон­вективный пе­ре­нос тепла. Если v = 0 (среда неподвижна), то уравнение (1.2.12), как и должно быть, совпадает с уравнением (1.2.4).