Кислицын Шабаров УМК Тепломассообмен / КраткийКонспектЛекций / Тема3-10

3.10. Нагрев или охлаждение сплошного однородного шара.

Начальная температура шара равна T₀ = const. В мо­мен­т времени t = 0 шар по­ме­ща­ется в среду (жидкость или газ) с по­стоянной температурой T_c. Теп­ло­обмен между этой сре­дой и твердой поверхностью шара про­ис­­ходит по за­ко­ну Ньютона с коэф­фициентом теп­лообмена  (граничное условие третьего ро­да). Требуется найти рас­пре­де­ле­ние тем­пе­ра­ту­ры в шаре в любой момент вре­ме­ни T(r,t).

Для обобщения приведенной ниже формулы на возможно большее число кон­к­ретных задач бу­дем ис­поль­зовать следующие обозначения: число Фурье (без­размерное вре­мя) Fo = at/R², критерий Био Bi = R/, где , a - коэф­фи­ци­ен­ты тепло- и тем­пе­ра­ту­ро­про­вод­ности ве­щест­ва цилиндра соответственно, t - обыч­ное время (в секундах), R - радиус шара. Подробнее о числах Фурье и Био см. ниже в разделе 6 "Безразмерные пара­метры тепломассообмена".

Точное решение этой задачи вы­ражается с помощью бесконечных функ­ци­о­нальных ря­дов и мало пригодно для практи­ческих расчетов. Для ин­же­нер­ных расчетов можно ре­ко­мен­довать следующую приближенную формулу:

, (3.10.1)

где вспомогательный параметр D вычисляется по формуле: .

Формула (3.10.1) пригодна как для нагрева, так и для охлаждения шара. Точ­ность этой формулы зависит от критерия Био и числа Фурье: при уве­ли­че­нии критерия Био и умень­шении числа Фурье погрешность воз­растает, но не пре­вышает 6% . При Bi < 5 и Fo > 0.1 погрешность состав­ля­ет менее 3%.