Кислицын Шабаров УМК Тепломассообмен / КраткийКонспектЛекций / Тема3-1

3. НЕСТАЦИОНАРНЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ.

3.1.Методы ре­ше­ния не­ста­­ци­о­нар­ных задач.

Нестационарное урав­нение теплопроводности в неподвижной среде было получено выше (формула (1.2.4)):

,

где Т - оператор Лапласа (Laplace), или Лапласиан температуры, который в различных системах координат имеет следующий вид (формулы (1.2.5) - (1.2.7)):

в декартовой:

,

в цилиндрической:

,

в сферической:

.

Например, одномерное нестационарное урав­нение теплопроводности в не­подвижной среде в декартовой системе координат при отсутствии объемных источников тепла имеет вид:

. (3.1.1)

Решения задач нестационарной теплопроводности могут быть получены раз­личными ме­­тодами. Из аналитических методов чаще всего используются следующие: 1) метод ра­зделения переменных, 2) опе­ра­тор­ный (опера­ци­он­ный) метод, 3) метод функ­ций Грина, основанный на использовании так на­зы­ва­е­мого фун­да­мен­таль­но­го решения урав­нения тепло­про­вод­ности. Ниже мы кратко рассмотрим первые два из этих методов, а третий - подробнее. Отметим еще, что в настоящее время наиболее мощными (не только в теплофизике, но и в других областях физики) являются численные методы. Эти методы настолько важны, что им посвящен отдельный спецкурс "Компьютерная теплофизика", поэтому здесь численные методы мы рассматривать не будем.

При использовании метода разделения переменных температуру T(x,t) пред­­­ставляют в виде произведения двух функций: T₁(x), зависящей только от про­странственной координаты x, и T₂(t), зависящей только времени:

T(x,t) = T₁(x)T₂(t). (3.1.2)

Подставляя (3.1.2) в (3.1.1), получаем:

, (3.1.3)

где для краткости применены обозначения: , .

Разделим обе части уравнения (3.1.3) на aT₁T₂:

.

Т.к. по определению левая часть полученного равенства зависит только от времени t, а правая - только от x, то, очевидно, равенство возможно только в том случае, если и левая, и правая части вообще ни от чего не зависят, т.е. равны некоторой константе, которую обозначим через -²:

.

Таким образом, получаем два уравнения для функций T₁ и T₂:

, (3.1.4)

, (3.1.5)

решения которых хорошо известны и имеют вид:

T₁(x) = Asinx + Bcosx, (3.1.6)

, (3.1.7)

где константы A, B и  зависят от граничных условий, а константа C - от на­чаль­ного условия. Формулы (3.1.6) и (3.1.7) определяют, вообще говоря, бес­ко­неч­но большое количество решений уравнений (3.1.4) и (3.1.5) (они называются част­ны­ми решениями), различающихся зна­че­ниями константы  и со­от­вет­ст­ву­ю­щи­ми значениями констант A, B и C. Общее решение является суммой (су­пер­по­зи­ци­ей) всех этих частных решений. Чтобы получить решение конкретной задачи, надо выбрать только те частные решения, которые удовлетворяют граничным ус­ловиям задачи, и составить из них сходящийся ряд (он называется ряд Фурье). Таким образом, решение задачи получается, как правило, в виде бесконечного ряда, что не всегда удобно для практического применения.

Опе­ра­тор­ный (или опера­ци­он­ный) метод основан на применении интег­раль­ного преобразования Лапласа и состоит в том, что изучается не сама функ­ция ("оригинал"), а ее видоизменение ("изображение"). Это преобразование осуществляется при помощи умножения на экспоненциальную функцию и ин­те­грирования ее в определенных пределах, поэтому этот метод часто называют интегральным преобразованием. Интегральное преобразование определяется формулой:

, (3.1.8)

где f() - исходная функция ("оригинал"), f_L(s) - ее изображение, s - некоторое комплексное число с положительной действительной частью.

После того, как задача решена в изображениях, выполняется обратное преобразование (т.е. нахождение оригинала по изображению) по формуле:

. (3.1.9)

На практике обратное преобразование по формуле (3.1.9) приходится вы­пол­нять очень редко, т.к. в настоящее время составлены весьма подробные таб­ли­цы изо­бра­жений, и надо лишь научиться ими пользоваться; это одно из важных преи­му­ществ операционного метода по сравнению с методом разделения пере­мен­ных. В то же время и этот метод дает точные решения обычно в виде бесконеч­ных рядов, что часто неудобно для практического применения.

Наиболее простым и имеющим наглядный физический смысл является метод функ­ций Грина, ос­но­­ванный на применении так называемого фундамен­тального уравнения тепло­про­вод­нос­ти, к изучению которого мы и переходим.