Кислицын Шабаров УМК Тепломассообмен / КраткийКонспектЛекций / Тема2-3

2.3.Стационарное температурное поле сферического источника тепла.

2.3.1.Общее решение стационарного уравнения теплопроводности в сфе­ри­ческой сис­те­ме координат.

Источники тепла различных конструкций часто применяются как в про­мыш­лен­ности, так и в быту. Форму многих из них в первом приближении можно счи­тать сферической. Более того, тем­пературное поле, создаваемое источником лю­бой формы на расстоянии, много большем чем размеры источника, можно при­ближенно рассматривать как поле сферического источника теп­ла.

Пусть пространство между двумя коаксиальными сфе­ра­ми с ра­ди­у­са­ми R₁ и R₂ заполнено не­подвижной средой (см. рисунок). Будем счи­тать, что температура среды за­ви­сит только от рас­стояния до начала ко­ординат и не зависит от углов  и  (в этом случае говорят, что тем­пе­­ра­турное по­ле сферически-симметрично, или имеет центральную сим­метрию). Тогда от опе­­ра­то­ра Лапласа (1.2.7) остается только ра­ди­альная часть, и ста­ци­о­нар­ное () одно­мер­ное уравнение теп­ло­­про­вод­нос­ти в сферических ко­ор­ди­на­тах принимает вид:

. (2.3.1)

Интегрируя (2.3.1), получаем:

(2.3.2)

отсюда (2.3.3)

интегрируя вторично, получаем общее решение:

, (2.3.4)

где C₁ и C₂ - константы интегрирования, которые должны быть определены из граничных ус­ло­вий.

Из общего решения, а также из формул (2.3.3) следует, что если область r = 0 не иск­лю­че­на (т.е. если внутренняя сфера отсутствует и все пространство вну­три внешней сферы за­пол­не­но сплошной средой), то так же, как и в ци­линд­ри­ческой системе координат, должно быть:

, т. е. , ,

т. е. в этом случае стационарное решение возможно лишь когда температура во всей области по­стоянна (тривиальное решение).

Однако, если пространство, занятое средой, не ограничено (т.е. если внеш­няя сфера от­сут­ствует, и все пространство вокруг внутренней сферы за­пол­нено сплошной средой), то, в от­ли­чие от цилиндрической системы ко­ор­ди­нат, при r   температура остается ограниченной; это означает, что для ис­точ­ника тепла сферической формы в безграничной среде не­три­ви­аль­ное ста­цио­нарное решение су­щест­ву­ет (см.ниже формулу (2.3.7)).

2.3.2. Температурное поле в ограниченной среде; условие 1-го рода.

Если область r = 0 исключена, т. е. если ищется температурное поле в об­лас­ти , то должны быть заданы граничные условия на сферах и .

Пусть на обеих сферах поддерживаются постоянные температуры и (т.е. заданы ус­ло­вия 1-го рода):

; .

Тогда ; ,

и решая эту систему уравнений относительно и, находим:

;

.

Итак,

. (2.3.5)

2.3.3.Температурное поле в ограниченной среде; условие 2-го рода на внут­ренней сфере.

Пусть теперь внутренняя сфера представляет собой нагреватель мощ­нос­ти W, а на внеш­ней сфере по-прежнему задана постоянная температура T₂. Тог­да гра­нич­ные условия имеют вид:

; .

Из формулы (2.3.3) находим: . Подставляя в общее решение (2.3.4), оп­ре­де­ляем вторую константу интегрирования:

.

Таким образом:

. (2.3.6)

В частности, температура внутренней сферы равна

.

2.3.4.Температурное поле в неограниченной среде.

Пусть сферический нагреватель радиуса R₁ и мощностью W находится в не­о­гра­ниченной сре­де, температура которой вдали от источника равна Т₀. Тогда граничные условия можно за­пи­сать в виде:

; .

Используя формулу (2.3.3) и общее решение (2.3.4), находим константы ин­те­гри­рования:

; T₀=C₂.

Таким образом, стационарное поле сферического источника тепла в неогра­ни­чен­ной не­под­виж­ной среде имеет вид:

. (2.3.7)

В частности, температура на поверхности источника:

,

где R₁ - радиус источника.