Кислицын Шабаров УМК Тепломассообмен / КраткийКонспектЛекций / Тема1-5

1.5.Закон Фика и уравнение диффузии.

1.5.1.Понятие диффузии; закон Фика.

Диффузией называется взаимное проникновение соприкасающихся ве­ществ друг в друга вследствие теплового движения частиц вещества. Если сре­да (жидкость, газ или твердое ве­щест­во) неоднородна по своему составу, т.е. представляет собой смесь, концентрация ком­по­нен­тов которой различна в раз­лич­ных участ­ках, то с течением времени распределение кон­цен­т­­рации бу­дет, во­обще говоря, изменяться. Во-первых, при движении жидкости будет про­­ис­хо­­дить механическое перемешивание (конвекция), а во-вторых, вы­равнивание кон­центрации бу­дет про­ис­ходить путем молекулярного переноса, т.е. диф­фу­зии.

Концентрацией некоторой i-й компоненты вещества называется отно­ше­ние массы дан­ной компоненты m_i к полной массе смеси m в данном элементе объ­ема. Концентрация - без­раз­мерная величина; обозначим ее через u_i(x,y,z,t). Со­гласно закону Фика (Fick), установленному экс­периментально в 1855 г, плот­ность диф­­фу­зи­он­ного потока i-й компоненты (т.е. масса ве­щества i-й ком­по­нен­ты, протекающая вслед­ст­вие диффузии за единицу времени через еди­ни­цу по­верхности), пропорциональна гра­ди­енту кон­центрации:

, (1.5.1)

где  - плотность смеси, D_i - коэффициент диффузии i-й компоненты, оп­ре­де­ля­е­мый экс­пе­ри­мен­тально и зависящий от рассматриваемого вещества и от со­с­та­ва смеси. Закон Фика ана­ло­ги­чен закону Фурье (1.1.4) для тепло­про­вод­ности. Так же как и в законе Фурье, знак минус в фор­муле (1.5.1) означает, что вектор направлен противоположно градиенту grad u_i, т.е. в сто­ро­ну убы­вания кон­цен­трации. Размерность плотности диффузионного потока (век­то­ра ) - кг/(м²с), размерность коэффициента диффузии, как легко оп­ре­де­лить из фор­му­лы (1.5.1), м²/с, т.е. такая же, как размерность коэффициента тем­пе­ра­ту­ро­про­вод­ности.

1.5.2. Вывод уравнения диффузии в неподвижной среде.

Вывод уравнения диффузии аналогичен выводу урав­нения теп­ло­проводности. Выделим (мысленно) объ­ем V, ограниченный замк­ну­той поверхностью S (см. рисунок). Вы­делим на этой по­верхности ма­лый участок dS с вектором нормали . Диффузионный поток, про­те­кающий че­рез этот участок, про­пор­цио­на­лен про­ек­ции вектора гра­ди­ен­та температуры на век­­тор нор­ма­ли:

, (1.5.2)

а ко­ли­­чество вещества i-й компоненты, про­те­ка­ю­ще­го за еди­ни­­цу времени через всю поверхность S, равно интегралу от dJ_i по этой по­­верх­ности:

. (1.5.3)

Предполагая, что никаких источников вещества вну­три объема нет (хи­ми­ческие реакции не происходят), за­кон сохранения массы i-й компоненты для вы­де­лен­­но­го объема V можно за­пи­сать в виде:

. (1.5.4)

Полученное равенство можно назвать уравнением диффузии в ин­те­г­раль­ной фор­­­ме. Его левая часть выражает изменение количества вещества i-й ком­по­­ненты, на­хо­дя­ще­го­ся внутри объема V за еди­ницу вре­ме­ни, а правая часть - ко­­личество этого вещества, про­текающего за еди­ни­цу времени че­рез по­верх­ность S. Так же, как и при выводе уравнения теплопроводности, знак правой час­­ти уравнения (1.5.4) взят про­ти­во­­по­ло­жным знаку в формуле (1.5.3): по фи­зи­­­чес­кому смыслу знак про­­из­вод­ной от ко­ли­чес­т­ва вещества, со­держащегося вну­­три объема (знак ле­вой части) должен быть положителен, ес­ли это ко­ли­чес­т­во возрастает, т.е. ес­ли в объ­ем вте­ка­ет вещества больше, чем вы­те­кает, и нао­бо­рот.

Применяя к правой части уравнения (1.5.4) теорему Остроградского-Гаусса, аналогично тому, как это было сделано в п.1.2, находим:

. (1.5.5)

Если плот­­ность  и коэффициент диффузии D_i можно считать постоян­ны­ми ве­личинами, то их можно вынести из-под знаков производных, и уравнение (1.5.5) упрощается:

. (1.5.6)

Это "стандартный" вид уравнения диффузии в неподвижной среде; по своей фор­ме урав­не­ние (1.5.6) аналогично уравнению теплопроводности (1.2.4) (при f = 0).

1.5.3. Вывод уравнения диффузии в движущейся среде.

Ход рассуждений такой же, как и при выводе урав­нения теп­ло­проводности в движущейся среде. Рассмотрим среду, дви­жу­щу­юся со скоростью , и выделим (мы­с­лен­но) не­под­виж­ный объ­ем V, ог­ра­ни­чен­ный зам­к­ну­той по­верх­ностью S (см. ри­су­нок). Вы­де­лим на этой по­верх­ности ма­лый учас­ток dS с век­тором нор­ма­ли и уч­тем, что пе­ренос массы осуществляется двумя путями: кон­век­ци­ей и диф­фу­зи­ей. Выражение для диффузионного потока ос­та­ет­ся прежним (фор­му­ла (1.5.2)), а кон­вективный поток найдем так же, как и в п.1.2.2. Ум­но­жив скалярно вектор ско­­рос­ти на вектор нор­мали к участку dS, най­дем про­­ек­цию скорости на век­тор нормали. Умножив эту проекцию на площадь dS, най­дем объем жид­кос­ти или газа, протекающий за единицу времени через участок dS. Ум­но­жив этот объ­ем на плот­ность , найдем массу смеси, а умножив мас­су на концентрацию i-й ком­по­нен­ты, най­дем ко­ли­чест­во вещества этой компоненты, которое вместе с дви­жущейся жид­костью про­те­кает за единицу вре­ме­ни че­рез участок dS; это и есть кон­век­тив­ный поток . Та­ким об­ра­зом, суммарный по­ток че­рез учас­ток dS равен:

, (1.5.7)

а поток массы i-й ком­по­нен­ты через всю поверхность S, равен ин­тег­ра­лу от dJ_i по этой по­верх­нос­ти. С учетом всего этого закон сохранения массы i-й ком­по­нен­ты в вы­де­лен­ном объеме V при­­нимает вид:

. (1.5.8)

Левая часть этого равенства выражает изменение количества вещества i-й компоненты, на­хо­дя­ще­го­ся внутри объема V за еди­ницу вре­ме­ни, а правая часть - количество этого ве­щест­ва, про­те­ка­ю­ще­го за еди­ни­цу времени че­рез поверхность S. Знак правой части, так же, как в урав­нении (1.5.4), выб­ран в соответствии с физическим смыслом про­ти­во­­по­ло­жно зна­ку в фор­му­ле (1.5.7).

Применяя теорему Остроградского-Гаусса, находим:

. (1.5.9)

Применяя формулу векторного анализа ко вто­ро­му сла­га­е­мо­му в правой части (1.5.9), для несжимаемой жидкости () на­хо­дим:

. (1.5.10)

Если  = const и D_i = const, то

. (1.5.11)

Это "стандартный" вид уравнения диффузии в движущейся среде. Если = 0 (среда не­по­движна), то уравнение (1.5.11), как и должно быть, совпадает с уравнением (1.5.6).