Кислицын Шабаров УМК Тепломассообмен / КраткийКонспектЛекций / Тема3-6

3.6. Нагрев или охлаждение полуограниченного стержня.

Полуограниченный стержень находится в тепловом рав­новесии с окру­жа­ю­щей средой (жид­кой или газообразной), т.е. начальная температура стер­ж­ня и ок­ружающей среды оди­на­ко­вы и равны T₀ = const. В момент времени t = 0 "ближ­ний" конец стержня x = 0 скачком (т.е. очень быстро) нагревают до тем­пе­ратуры T_с, а затем под­держивают при этой постоянной тем­пе­ра­ту­ре. Стер­жень начинает прогреваться с "ближ­не­го" конца, между его боковой по­верх­ностью и окружающей средой возникает разность температур, и начинается теплообмен с окружающей средой по за­­ко­ну Ньютона (граничное условие треть­его рода) с коэф­фи­ци­ен­том теплообмена . Стержень не обязательно дол­жен иметь круглое сечение. Оно может быть квадратным, прямоугольным, эл­лип­тическим - каким угодно, но все размеры, оп­ре­де­ля­ю­щие это се­чение, дол­ж­ны быть малы по сравнению с длиной стержня. Тогда изменением тем­пе­ра­ту­ры по се­че­нию стержня можно пренебречь, и считать, что температура меняется толь­ко по дли­не стер­ж­ня x. Требуется найти это рас­пре­де­ле­ние температуры по дли­не стерж­ня в любой мо­­мент времени T(x,t). Очевидно, эта температура бу­дет монотонно уменьшаться с ростом x и стре­мить­ся к T₀ при x  , т.к. второй ("дальний") конец стержня по оп­ре­де­ле­нию на­хо­дит­ся бес­конечно далеко (стержень "полуограниченный").

Решение этой задачи имеет вид:

, (3.6.1)

где h = S/P - характерный размер данной задачи: отношение площади сечения стер­жня к пе­ри­метру сечения. Например, если стержень имеет круглое сечение ди­аметра d, то его пло­щадь равна S = d²/4, а периметр P = d, поэтому для та­ко­го стержня h = d/4. Если стержень имеет квадратное сечение со стороной a, то S = a², P = 4a, h = a/4 и т.д. Относительная безразмерная тем­пе­ратура  , как и выше, связана с искомой температурой T(x,t) формулой (3.4.12). Если теп­ло­об­мен с окружающей средой отсутствует (боковая поверхность стержня теп­ло­изо­лирована), т.е.  = 0, то из (3.6.1) получается решение, совпадающее с фор­му­лой (3.4.9) - решение для полуограниченного тела, когда температура ог­ра­ни­чивающей по­верх­нос­ти постоянна и равна T_с. Если время прогрева t  , то из (3.6.1) получаем стационарное состояние с экс­по­нен­циальным рас­пре­де­ле­ни­ем температуры:

. (3.6.2)

При выводе формулы (3.6.2) учтено, что, по определению, erf() = 1, а erf(-) = -1. Поэтому erfc() = 0, а erfc(-) = 2.

Пример. Длинный стальной вал диаметром 140 мм нагревается с одного кон­ца в печи с температурой 800^оС. Температура вала до нагрева была равна тем­пературе воздуха 20^оС. Найти температуру вала на расстоянии 17,5 см от на­греваемого конца через 15 мин нагрева. Коэффициент теплообмена принять рав­ным  = 163 Вт/м²К; теплофизические па­ра­мет­ры стали:  = 46 Вт/мК, a = 0.1210^-4м²/с.

Решение. Характерный размер данной задачи h = d/4 = 0.035 м, все ос­таль­ные ве­ли­чи­ны для формулы (3.6.1) заданы в условии задачи. Выполняем вы­числения:

= = 1.76; = = 0.842;

= 1.046; = 1.888; erfc(1.888) = 0.00758;

= 0.842-1.046 = -0.204; erf(-0.204) = -erf(0.204) = - 0.227;

erfc(-0.204) = 1 - erf (-0.204) = 1 + 0.227 = 1.227.

Подставляя все это в формулу (3.6.1), находим:  = 0.128. Отсюда по формуле (3.4.12):

T =  (T_с - T₀) + T₀ = 0.128(800-20) + 20 = 120^оС.