6.2.Число Пекле.

Рассмотрим теперь процесс стационарного теплопереноса в несжимаемой жид­кости. На­при­мер, это может быть задача о температурном поле в потоке жид­кос­ти или газа, в котором на­хо­дит­ся длинный проводник, нагреваемый эле­к­т­ри­чес­ким током. Пусть поток движется пер­пен­ди­ку­ляр­но к проводнику, причем про­цесс прогрева продолжается достаточно долго, так что ус­та­но­ви­лось рав­но­ве­сие между джоулевым выделением тепла в проводнике и теплоотдачей в дви­жу­щу­­ю­ся жидкость или газ. Подобные задачи (в несколько более сложной по­ста­нов­ке) име­ют большое пра­к­тическое значение. Они возникают, например, при ана­ли­зе работы теплообменников раз­лич­ных конструкций, при ана­ли­зе работы ядер­ных реакторов (там в потоке теплоносителя на­хо­дят­ся теп­ловыделяющие эле­мен­ты (твэлы); тепло в них выделяется в результате реакции деления тя­же­лых ядер) и др. Найти ана­ли­ти­ческое ре­ше­ние этой задачи достаточно сложно, и мы этого де­лать не бу­дем. Однако некоторые важ­ные вы­во­ды можно получить и не решая за­да­чу, а лишь перейдя к без­раз­мер­ным пе­ре­мен­­ным. Урав­не­ние теп­ло­про­вод­нос­ти в движущейся среде было выведено вы­ше (см. раздел 1.2); оно имеет вид:

.

Стационарность означает, что T/ t = 0, таким образом

. (6.2.1)

В качестве ха­рак­тер­ного размера l в данной задаче может быть выбран ра­ди­ус про­вод­ни­ка, а в качестве характерной температуры - разность (T₁ -T₀ ): раз­ность между температурой про­­водника T₁ и на­чаль­ной тем­пературой жид­кос­ти или газа (т.е. температурой, которую име­ет на­бегающий поток вда­ли от про­водника) T₀. Кроме этого в рассматриваемой задаче есть еще один ха­рак­тер­ный па­раметр - скорость набегающего потока вдали от проводника, ко­то­рую обо­­зна­чим буквой u.

Определим без­раз­мерные переменные аналогично тому, как это было сде­ла­но выше:  = (T - T₀)/(T₁ -T₀ ) (безразмерная температура), X = x/l, Y = y/l, Z = z/l (без­раз­мер­ные ко­ор­ди­на­ты), V = v/u (безразмерная скорость), и подставим в уравнение (6.2.1):

.

Разделим обе части на a(T₁ -T₀ ) и умножим на l². Обозначим:

, (6.2.2)

тогда уравнение (6.2.1) окончательно принимает безразмерный вид:

. (6.2.3)

Безразмерный параметр Pe, определяемый формулой (6.2.2), называется чи­слом Пекле (Pe­clet). Из уравнения (6.2.3) видно, что число Пекле определяет роль конвективного переноса в уравнении теп­лопроводности: если Pe << 1, то кон­вективный перенос пренебрежимо мал; если, наоборот, Pe >> 1, то кон­век­тив­ный перенос является определяющим, и можно пре­не­бречь обычной теп­ло­про­водностью, а если Pe  1, то оба фактора (и конвективный перенос, и обыч­ная теп­ло­про­водность) играют примерно одинаковую роль. Таким образом не ре­шая за­да­чу, а лишь оп­ре­делив значение числа Пекле, можно сделать важный вы­вод о характере про­цесса теп­ло­пе­ре­но­са и, возможно, существенно упрос­тить уравнение для последующего ис­сле­до­вания.