6. Безразмерные параметры тепломассопереноса.

В изучении явлений тепломассопереноса важную роль играют экс­пе­ри­мен­таль­ные ис­сле­­до­ва­ния. Для обобщения результатов экспериментов на воз­можно большее число яв­ле­ний при­ме­ня­ют­ся методы теории подобия. Понятие подобия применимо к таким процессам, ко­­то­рые име­ют оди­наковую физическую природу и протекают в геометрически подобных сис­те­мах. Дру­гими сло­ва­ми, для того, чтобы некоторые процессы или явления были подобны друг дру­гу, они должны опи­­сы­вать­ся одинаковыми уравнениями с подобными друг другу на­чаль­ны­ми и гра­ничными ус­ло­ви­ями.

Важную роль при анализе подобных процессов играют безразмерные па­ра­мет­ры. При­ве­де­ние уравнений к безразмерному виду и выявление без­раз­мер­ных па­раметров - необходимый этап лю­бых сколько-нибудь серьезных ис­сле­до­ваний в теплофизике; он позволяет уменьшить чис­ло пе­ре­мен­ных, дает воз­мож­ность изу­чать явление независимо от выбора системы единиц и более от­чет­­ли­во вы­я­вить внут­рен­ние связи, характеризующие процесс. Безразмерные пе­ре­мен­ные ча­с­то слу­жат мерой, определяющей возникновение критических си­туаций, при­во­дя­­щих к резкому из­ме­не­нию протекания изучаемого явления (на­иболее из­вест­ный пример - из­ме­не­ние режима течения жид­кости от ла­ми­нар­ного к тур­бу­лен­т­но­му при переходе числа Рей­нольд­са через не­ко­торое кри­ти­­ческое значение).

Рассмотрим некоторые из наиболее часто применяемых безразмерных па­ра­мет­ров.

6.1.Число Фурье.

Рассмотрим в качестве примера одну из простейших задач теории теп­ло­про­вод­ности - за­да­чу об определении температурного поля в пластине (плос­кой стен­ке) толщины l. Пусть на­чаль­ная тем­пе­ратура пластины во всех точках рав­на T₀ (на­чальное условие), затем в какой-то мо­мент вре­ме­ни на одной из ее по­верх­ностей устанавливают температуру T₁, а на другой про­дол­жают под­­держивать тем­пературу T₀ (граничные условия). Через какое-то время в плас­тине ус­та­но­вит­­ся ста­ци­о­нар­ное по­ле, которое в этой задаче определяется эле­ментарно (см. раз­дел 2.1), но воз­никает во­прос: как оп­ре­де­лить, или хотя бы оценить время, че­рез которое произойдет это ус­­та­нов­ле­ние? Ес­ли от­вечать на этот вопрос фор­маль­но, то время установления будет бес­ко­неч­но боль­шим, т.к. при­бли­же­ние к ста­ционарному распределению происходит асим­п­то­ти­чес­ки, но ре­аль­но всегда мож­­но ука­зать конечное время, через которое температурное поле прак­ти­чески не будет от­ли­чать­­ся от ста­ци­о­нар­но­го. Чтобы определить это время, можно по­пы­­тать­ся по­лу­чить и про­а­на­ли­­зи­ро­вать точ­ное ре­­ше­ние задачи (т.е. найти за­ви­си­мость тем­пе­ра­ту­ры как от x, так и от t), но это уже су­щест­­вен­но сложнее, чем на­хождение стационарного по­ля, а в не­ко­то­рых задачах точ­ное ре­ше­ние во­об­ще найти не удается. Однако есть способ оце­нить время ус­та­­нов­ле­ния не решая задачу, а лишь преобразовав уравнение к без­размерным пе­ре­менным.

Уравнение, оп­ре­де­ля­ю­щее процесс переноса тепла в неподвижной среде, получено выше. Для пластины (или плоской стенки) это уравнение имеет вид:

. (6.1.1)

Решение этого уравнения зависит, во-первых, от теплофизических па­ра­мет­ров среды (от ко­эффициента температуропроводности a), а, во-вторых, (че­рез граничные условия) от не­ко­то­рых величин, ха­рак­терных для рас­смат­ри­ва­е­мой задачи: от характерного размера и ха­рак­тер­ной температуры (или разности тем­­пе­ра­тур). Правильный выбор характерных па­ра­мет­ров за­ви­сит от кон­к­рет­ной задачи и является важным этапом решения. В рассматриваемой простой за­да­че о прогреве плас­ти­ны зна­че­ния ха­рак­терных параметров очевидны: это тол­щи­на плас­ти­ны l и раз­ность тем­пе­ра­тур T₁ - T₀ (других величин в условии за­да­чи просто нет), но в других, бо­лее сложных случаях, определение ха­рак­тер­ных параметров может потребовать спе­ци­аль­но­го ис­сле­дования.

После того, как характерные параметры выбраны, определим без­раз­мер­ные переменные сле­­дующим образом:  = (T - T₀)/(T₁ -T₀ ) - безразмерная тем­пе­ратура и X = x/l - без­раз­мер­ная ко­­ор­дината. Выразим отсюда T и x: T = T₀ + (T₁ -T₀ ), x = lX, и подставим в уравнение (6.1):

.

Разделим обе части на a(T₁ -T₀ ), умножим на l² и определим еще одну безразмерную пе­ре­менную: безразмерное время

; (6.1.2)

тогда уравнение (6.1.1) окончательно примет безразмерный вид:

.

Безразмерное время , определяемое формулой (6.1.2), называется числом Фурье (Fourier) или кри­терием Фурье. Часто для обозначения числа Фурье ис­поль­зуют символ Fo; этот символ был использован нами выше в разделах 3.7 - 3.10. Время t, со­от­вет­ст­вующее  = 1, т.е. величина l²/a, и есть характерное время задачи. Установление тем­пе­ра­тур­но­го поля происходит за время  >> 1, или за вре­мя t >> l²/a. Обычно достаточно по­ло­жить   2...3, т.е. через время, равное при­мерно двум - трем ха­рак­терным временам, тем­пе­ра­тур­ное поле практически не будет отличаться от ста­ци­о­нар­но­го.