Кислицын Шабаров УМК Тепломассообмен / КраткийКонспектЛекций / Тема2-5

2.5. Стационарное од­но­мерное температурное поле с объемными ис­точ­никами тепла.

В качестве примера задачи с объ­ем­ным ис­точ­ни­ком тепла рассмотрим сплош­ной ци­линд­ри­чес­кий проводник радиуса R, по которому течёт элект­ри­ческий ток I (см. рисунок). В результате про­пус­ка­ния тока в про­воднике происходит вы­де­ле­ние теп­­ла (его часто называют джоулевым теплом). При достаточно дли­тельном про­греве током по­сто­ян­ной ве­ли­чи­ны между выделением тепла и теп­ло­от­да­чей в окружающую сре­ду достигается рав­но­весие, и в проводнике ус­та­навливается ста­ционарное тем­пе­ра­тур­ное поле. Требуется най­ти распределение тем­пе­ра­ту­ры внутри проводника, в частности температуру по­верх­ности проводника и тем­пературу на оси проводника.

Стационарное ( T/ t = 0) уравнение теплопроводности с объемным ис­точ­ником тепла (1.2.4) в цилиндрических координатах, когда температура за­ви­сит только от расстояния до оси проводника r, может быть записано в виде:

, (2.5.1)

где f  объёмная плотность источников тепла, т.е. количества тепла вы­де­лив­ше­гося в единице объёма за единицу времени.

Будем считать, что ток равномерно распределён по сечению проводника и обозначим че­рез j плотность тока: , где  площадь поперечного се­че­ния проводника. Элек­т­ри­ческое со­про­тив­ление участка проводника длины l рав­но l/(S), где   проводимость ве­щест­ва про­вод­ника (величина, обратная удель­ному сопротивлению). Поэтому, согласно закону Джо­­у­ля-Ленца, на участ­ке проводника длины l за единицу времени выделяется количество теп­ла, рав­ное . Произведение Sl равно объёму участка проводника дли­ны l, следовательно, , и уравнение теплопроводности (2.5.1) пе­ре­пи­шет­ся в виде:

. (2.5.2)

Граничное условие на поверхности проводника запишем в виде условия 3-го ро­да (см. 1.4.4):

, (2.5.3)

где   коэффициент теплообмена между поверхностью проводника и ок­ру­жа­ю­щей средой, T₀ - температура окружающей среды. Второе граничное условие за­пишем для оси проводника r = 0:

. (2.5.4)

Физический смысл этого условия заключается в том, что в данной задаче на оси про­водника, оче­видно, температура должна быть максимальной.

Разделим уравнение (2.5.2) на и запишем его в виде:

. (2.5.5)

Обозначим , тогда уравнение (2.5.5) принимает вид: . Ин­те­гри­руя пер­вый раз, получаем , или . Для нахождения тем­пе­ратуры Т интегрируем вто­рич­но:

, (2.5.6)

где C₁ и C₂ - константы ин­те­гри­ро­вания, которые должны быть найдены из гра­нич­ных условий. Из граничного условия (2.5.4) находим:

С₁ = 0,

отсюда . Подставляем это в условие (2.5.3): , и находим С₂:

.

Подставляя найденные значения констант интегрирования в (2.5.6), получаем окон­чательную формулу для распределения температуры по сечению про­вод­ни­ка:

. (2.5.7)

Таким образом, температура по сечению проводника меняется по па­ра­бо­ли­чес­ко­му закону. На оси проводника (r = 0) температура максимальна и равна:

, (2.5.8)

а на поверхности проводника (r = R):

. (2.5.9)

Если на поверхности проводника задано условие 1-го рода (постоянная тем­пе­ра­тура T₂ = T₀), то это соответствует бесконечно большому коэффициенту теп­ло­обмена с окружающей средой:   . Тогда тем­пе­ра­тура любой точки вну­т­ри проводника может быть определена по фор­му­ле:

,

а температура на оси проводника равна

.