Кислицын Шабаров УМК Тепломассообмен / КраткийКонспектЛекций / Тема4-2

4.2. Приближенный метод решения задач Стефана: ква­зи­ста­цио­нар­ный метод Лей­бен­зо­на. Задача о промерзании цилиндрической трубы.

Для задач Стефана лишь в редких простейших случаях удается найти точ­ное ана­ли­ти­чес­кое решение, поэтому приходится применять приближенные ме­то­ды. Один из наиболее рас­про­стра­ненных в инженерной практике методов, по­зволяющий получить решения ряда прак­ти­чески важных задач, был пред­ло­жен в 1931г. Л.С.Лейбензоном. Идея этого метода за­клю­ча­ет­ся в замене ре­аль­но­­го распределения температуры распределением, удовлетворяющим урав­не­нию Лапла­са (по этой причине данный метод иногда называют ква­зи­ста­ци­о­нар­ным), а пос­ле нахождения температурного поля скорость движения фронта оп­­ре­де­ля­ется с помощью ус­ло­вия Стефана. Метод Лейбензона применим в тех слу­чаях, когда ско­рость установления тем­пе­ратуры много больше, чем скорость дви­жения фронта фазового пе­ре­хода v. Если x - ха­рак­тер­ный размер задачи, то x²/a - характерное время установления температуры. Если за это вре­мя фронт фа­зового перехода проходит расстояние, много меньшее, чем x, то реальное рас­­пре­деление температуры можно заменить установившимся, т.е. условие при­менимости ква­зи­ста­ционарного метода можно записать в виде:

vx²/a << x, или a >> vx. (4.2.1)

Рассмотрим в качестве примера очень важную с практической точ­ки зре­ния задачу о про­мерзании трубопровода, заполненного жид­костью. Пусть име­ется неограниченный по вы­­соте цилиндр (тру­ба) радиуса R, заполненный жид­костью при температуре Т₂ = Т_ф = 0. В не­который мо­мент вре­мени на по­вер­хности цилиндра скачком ус­та­нав­ли­вается, а затем под­дер­живается по­­сто­ян­­ной температура Т_о < Т_ф. Фронт промерзания начинает двигаться от по­верх­нос­ти к оси ци­лин­д­ра, и через некоторое время вся жидкость в трубе замерзает. Обо­­зна­чим через T₁ температуру льда в промерзшей зоне, через r₁ - ко­ор­ди­на­ту фронта промерзания. Требуется найти закон движения фрон­та про­мер­за­ния r₁(t) и время пол­но­го промерзания . Температура льда в промерзшей зоне опре­де­ля­ется уравнением теплопроводности:

, r₁(t)  r  R, (4.2.2)

с граничными условиями

T₁(R,t) = T₀, T₁(r₁,t) = T_ф = 0. (4.2.3)

Т.к. температура жидкости считается всюду постоянной и рав­ной T_ф, то градиент тем­пе­ра­ту­ры, а вместе с ним и теп­ло­вой поток в жидкости равны нулю, поэтому условие Сте­фа­на при­ни­ма­ет вид:

. (4.2.4)

Будем решать задачу квазистационарным методом Лей­бензона. Положим в уравнении (4.2.2) T₁ /t = 0, тогда ста­ционарная температура в области r₁  r  R будет равна:

T₁ = C₁lnr +C₂,

(см. формулу (2.2.3)), а константы интегрирования C₁ и C₂ определяются из граничных ус­ло­вий (4.2.3):

, .

Таким образом, стационарное распределение температуры в промерзшей об­лас­ти имеет вид:

, и .

Подставляя последнее равенство в условие Стефана (4.2.4), получаем диф­фе­рен­циальное уравнение относительно координаты фронта r₁:

с разделяющимися переменными:

.

В результате интегрирования (второй интеграл справа берется по частям), на­хо­дим:

.

Константу интегрирования C найдем из начального условия: r₁ = R при t = 0:

.

Таким образом, получаем формулу, выражающую взаимно-однозначное со­от­вет­ствие между r₁ и t:

, (4.2.5)

которую и можно считать законом движения фронта промерзания (выразить в явном виде фун­к­цию r₁(t) не удается, но это несущественно). Время полного промерзания  найдем из ус­ло­вия r₁ = 0:

, (4.2.6)

где знак "минус" означает, что полученное решение имеет смысл, если T₀ < 0.

Проверим применимость полученного решения для конкретного примера - промерзания во­ды в трубопроводе. Характерным размером в данном случае яв­ляется радиус трубы R, а средняя скорость движения фронта промерзания рав­на v  R/. Подставляя эти значения в условие при­ме­нимости метода Лей­бен­зона (4.2.1), находим:

, или .

Удельная теплота фазового перехода вода-лед L  335 кДж/кг, удельная теп­ло­ем­кость льда c₁  2.1 кДж/(кгК), поэтому полученное решение применимо для не слишком низких температур на поверхности трубопровода: -T₀ << 40⁰C.

Заключительные замечания.

Как уже отмечено выше, задача Стефана лишь в редких случаях имеет точ­ное ана­ли­ти­чес­кое ре­шение. Причина этого заключается в том, что скорость фрон­та фазового перехода не­ли­нейным образом зависит от градиента тем­пе­ра­ту­ры, т.е. в отличие от задач, рассмотренных ранее, задача Стефана является не­ли­нейной. Дело, однако, не только (и даже не столько) в пре­о­долении ма­те­ма­ти­чес­­ких трудностей. Далеко не всегда классическая постановка задачи, в ко­то­рой фазовый пе­ре­ход считается происходящим на бесконечно тонком фронте, яв­ляется аде­кватной реальному фи­зическому процессу. Известно, например, что взаимодействие воды с по­верхностью ми­не­раль­ного скелета пористой сре­ды понижает температуру ее замерзания: чем тоньше капилляр, в котором на­хо­дит­ся вода, тем ниже температура ее замерзания. По­э­то­му вода в мерзлых грун­тах замерзает в некотором спектре температур; более того, в не­которых видах мел­козернистых грунтов какое-то ко­ли­чест­во воды ос­тается в незамерзшем со­с­тоянии да­же при самых низ­ких температурах, ко­то­рые наблюдаются в при­род­ных земных условиях (при -50⁰С и ни­же). Дру­ги­ми словами, часто вмес­то бес­ко­нечно тонкого фронта промерзания об­ра­зуется двухфазная среда, в ко­торой во­да од­новременно присутствует как в жидкой, так и в твердой фазах. Для уче­та этого об­сто­я­тель­ст­ва вво­дит­ся понятие льдис­тос­ти грунта - это ко­ли­чество за­мерзшей воды, ко­то­рое счи­та­ет­ся известной из эксперимента функ­цией тем­пе­­ра­ту­ры (для данного грунта), причем теп­ло­фи­зи­ческие свой­ст­ва грунта за­ви­сят от льдистости, а в уравнении теплопроводности приходится учи­тывать вы­де­­ление (или по­гло­щение) теплоты фазового перехода при из­ме­не­нии льдис­тос­ти. Кроме того, часто наблюдается движение (ми­гра­ция) воды в грунте, которая при­водит к дополнительному (конвективному) переносу тепла, что также силь­но усложняет задачу. Задачи с подвижными границами фазовых переходов (за­да­­чи Стефана) - одна из наименее исследованных (и поэтому на­и­бо­лее ин­те­рес­ных как с на­уч­ной, так и с практической точек зрения) областей современной теп­ло­физики.