Кислицын Шабаров УМК Тепломассообмен / КраткийКонспектЛекций / Тема1-3

1.3.Начальные и граничные условия для уравнения тепло­про­вод­нос­ти; клас­­си­фи­ка­ция граничных условий.

Уравнение теплопроводности - это дифференциальное уравнение первого порядка по вре­мени и второго порядка по пространственным координатам x, y, z. Для того, чтобы его ре­шить, нужны начальное и граничные условия.

Начальное условие - это распределение температуры внутри тела в на­чаль­ный момент вре­мени; оно должно быть известно:

T(x,y,z,0) = f₀ (x,y,z), (1.3.1)

где f₀ (x,y,z) - известная функция. Например, в качестве начального условия может быть задано оди­наковое значение температуры во всех точках тела.

Граничные условия определяют закон взаимодействия между по­верх­ностью тела и ок­ру­жа­ющей средой. Эти условия в зависимости от физической постановки задачи могут быть за­да­ны различными способами.

Граничное условие 1-го рода состоит в задании распределения тем­пе­ра­туры по по­верх­нос­ти тела в любой момент времени:

T_пов = f₁ (t), (1.3.2)

где f₁ (t) - известная функция. В частности, может быть f₁ (t) = T₁ = const, это означает, что на поверхности тела поддерживается постоянная температура.

Граничное условие 2-го рода состоит в задании плотности теплового потока для каждой точки по­верх­нос­ти тела в любой момент времени:

-gradT_пов = q_пов = f₂ (t), (1.3.3)

где f₂ (t) - известная функция. В частности, может быть f₂ (t) = q₀ = const; это означает, что че­рез поверхность тела проходит постоянный тепловой поток из­вестной плотности. Может быть также f₂ (t) = 0, это означает, что поверхность тела теплоизолирована.

Граничное условие 3-го рода состоит в задании условия теплообмена ме­жду по­верх­нос­тью твердого тела и окружающей средой (жидкостью или газом, например, атмосферным воз­ду­хом):

-gradT_пов = q_пов =  (T₀ - T_пов ), (1.3.4)

где T₀ - температура окружающей среды (известная постоянная или пере­мен­ная величина),  - коэффициент теплообмена (известная величина, опре­де­ля­е­мая экспериментально), T_пов и q_пов - тем­пература поверхности тела и плотность теплового потока, который течет из окружающей сре­ды внутрь тела путем теп­лопроводности, или наоборот, течет из тела в ок­ру­жа­ю­щую среду (в фор­му­ле (1.3.4) температура T₀ может быть больше, чем T_пов , тогда происходит на­гре­ва­ние те­ла, а мо­жет быть наоборот: T_пов > T₀, тогда тело отдает тепло в ок­ру­жа­ю­щую сре­ду и ох­ла­ж­да­ется). T_пов и q_пов - заранее неизвестные и обычно пе­ре­мен­ные величины, которые дол­ж­ны быть определены в процессе решения задачи. Т.к. в формулу (1.3.4) входят сразу две не­из­вест­ные величины, то решить за­да­чу с ус­ло­ви­я­ми 3-го рода обычно сложнее, чем с ус­ло­ви­я­ми 1-го или 2-го рода. Однако с точки зрения фи­зи­ческой постановки задачи условия 3-го ро­да, как пра­­вило, более реальны, т.к. поддерживать заданную температуру поверхности или за­дан­ный тепловой поток возможно лишь в спе­ци­аль­ных лабораторных или промышленных уст­ройст­вах.

Обратим внимание на то, что в формуле (1.3.4) тепловой поток может рас­смат­ри­ва­ть­ся как со стороны твердого тела, так и со стороны жидкости (или га­за). Абсолютная величина по­то­ка от этого не зависит, но способы ее оп­ре­де­ле­ния могут быть различны. В первом случае в фор­му­лу входит коэффициент теп­лопроводности  твердого тела и градиент температуры в твер­дом те­ле вбли­зи его поверхности. Во втором случае предполагается, что вблизи по­верх­нос­ти тела существует тонкий слой жидкости или газа, через который тепло пе­ре­дается толь­ко теп­ло­про­водностью; в этом случае в формулу (1.3.4) входят коэффициент теплопроводности и гра­ди­ент температуры этого слоя жидкости или газа.

Условия 1-го и 2-го рода можно рас­смат­ри­вать как частные иде­а­ли­зи­ро­ван­ные случаи условий 3-го рода. Действительно, формулу (1.3.4) можно записать в виде:

T₀ - T_пов = -(/) gradT_пов ,

и если, например, коэффициент теплообмена  достаточно велик или если ко­эф­фициент теп­ло­проводности  мал, то T₀  T_пов , т.е. получаем условие 1-го ро­да. Если же, наоборот,  = 0, то q_пов = 0, и получаем частный случай условия 2-го рода (теплоизолированную поверхность).

Если надо найти температурные поля одновременно в соприкасающихся те­лах (на­при­мер, в слоях стены, сделанных из различных материалов; в тру­бо­проводе и окружающем его грун­те и др.), то такие тепловые задачи называются со­пряженными. При этом на со­при­ка­са­ю­щих­ся поверхностях обоих тел за­да­ет­ся равенство температур и равенство абсолютных ве­ли­чин тепловых потоков:

T_{пов 1} = T_{пов 2} , (1.3.5)

q_{пов 1} = q_{пов 2} , (1.3.6)

т.е. считается, что температура при переходе через поверхность раздела ме­ня­ет­ся непрерывно (не испытывает скачка), а плотность теплового потока, вы­хо­дя­щего из одного тела, равна (по мо­дулю) плотности потока, входящего во второе тело. Условия (1.3.5) и (1.3.6) называют ино­г­да ус­ловиями 4-го рода.