Кислицын Шабаров УМК Тепломассообмен / КраткийКонспектЛекций / Тема3-8

3.8. Нагрев или охлаждение неограниченного сплошного цилиндра.

Под неограниченным понимают цилиндр, высота которого много боль­­ше его диа­мет­ра. Начальная температура цилиндра равна T₀ = const. В мо­мен­т вре­ме­ни t = 0 цилиндр по­ме­ща­ется в среду (жидкость или газ) с по­стоянной тем­пе­ра­турой T_c. Теплообмен между этой сре­дой и твердой поверхностью цилиндра про­­ис­­ходит по закону Ньютона с коэф­фициентом теп­лообмена  (граничное ус­ло­вие третьего рода). Требуется найти рас­пре­де­ле­ние тем­пе­ра­ту­ры в цилиндре в любой момент времени T(r,t). Будем считать, что изменение температуры в ци­линдре происходит только по радиусу (по координате r). Изменением тем­пе­ра­туры по оси z пренебрегаем, а зависимость от угла отсутствует вследствие сим­метрии задачи от­но­си­тель­но оси цилиндра. Другими словами, считаем, что изо­термы представляют собой коак­си­аль­ные цилиндрические поверхности.

Для обобщения приведенной ниже формулы на возможно большее число кон­­к­ретных задач бу­дем ис­поль­зовать следующие обозначения: число Фурье (без­размерное вре­мя) Fo = at/R², критерий Био Bi = R/, где , a - коэф­фи­ци­ен­ты тепло- и тем­пе­ра­ту­ро­про­вод­ности ве­щест­ва цилиндра соответственно, t - обыч­ное время (в секундах), R - радиус цилиндра. Подробнее о числах Фурье и Био см. ниже в разделе 6 "Безразмерные пара­метры тепломассообмена".

Точное решение этой задачи вы­ражается с помощью бесконечных функ­ци­о­нальных ря­дов и мало пригодно для практи­ческих расчетов. Для ин­же­нер­ных расчетов можно ре­ко­мен­довать следующую приближенную формулу:

, (3.8.1)

где вспомогательный параметр D вычисляется по формуле: .

Формула (3.8.1) пригодна как для нагрева, так и для охлаждения ци­лин­д­ра. Точность этой формулы зависит от критерия Био и числа Фурье: при уве­ли­че­нии критерия Био и умень­шении числа Фурье погрешность воз­растает, но не превышает 4% . При Bi < 5 и Fo > 0.1 погрешность состав­ля­ет менее 2%.

Пример. Начальная температура стального цилиндра ( = 46 Вт/мК, a = 0.1210^-4м²/с) равна T₀ = 100^оС. Радиус цилиндра R = 0.1 м. В мо­мен­т времени t = 0 цилиндр начинают рав­но­мерно со всех сторон охлаждать воздухом с тем­пе­ра­ту­рой T_с = +10^оС. Найти температуру на поверхности и на оси цилиндра в центре через t₁ = 2 минуты и через t₂ = 30 минут охлаждения. Коэф­фициент теплообмена принять равным  = 150 Вт/м²К.

Решение. На оси цилиндра r = 0, на поверхности цилиндра r = R. Числа Фурье для t₁ и t₂: Fo₁ = = at₁/R² = 0.144, Fo₂ = = at₂/L² = 2.16. Найдем критерий Bi и вспомогательный параметр D:

Bi = L/ = 1500.1/46 = 0.3261; = 0.6065.

Подставляем эти числа в формулу (3.8.1).

Температура на оси цилиндра через 2 минуты охлаждения:

= 99.2^оС,

На оси цилиндра через 30 минут:

= 36.3^оС,

На поверхности цилиндра через 2 минуты:

= 86.7^оС,

На поверхности цилиндра через 30 минут:

= 32.6^оС.