Кислицын Шабаров УМК Тепломассообмен / КраткийКонспектЛекций / Тема1-4

1.4. Одномерное уравнение теплопроводности для тонкого стержня или трубы с кон­век­тив­ным переносом тепла и с теплообменом на бо­ко­вой поверхности.

Рассмотрим тем­пе­ратурное по­­ле в трубе с поперечным се­че­ни­ем S, по которой движется не­сжи­ма­е­мая жидкость с посто­ян­ной ско­рос­тью v (см. рисунок). Труба не обязательно должна иметь кру­г­лое сечение, оно мо­жет быть ква­д­ратным, пря­мо­у­голь­ным, эллип­ти­ческим и др.; мы выведем урав­не­ние, при­год­ное для трубы с лю­бой (по­сто­ян­ной по длине) фор­мой по­пе­реч­ного сечения. Ес­ли любой раз­мер трубы в поперечном сечении много меньше ее длины, то изменением тем­пе­ра­ту­ры по се­че­нию можно пренебречь по срав­нению с изменением по дли­не трубы, т.е. считать тем­пе­ра­­турное поле одно­мер­ным, за­ви­ся­щим только от координаты x, а теплообмен с окружающей сре­дой учесть не в виде граничного условия, а включить в само дифференциальное уравнение.

Выделим (мысленно) в тру­бе два сечения (две изо­тер­мы) с ко­ор­ди­на­тами x и x+dx и с тем­пе­ра­ту­ра­ми T и T+dT соответственно. Меж­ду эти­ми се­че­ниями за­клю­чен элемент объ­е­ма dV = Sdx, где S - площадь се­че­ния стер­жня. За­пишем баланс энергии для этого объ­е­ма. Разность между количеством тепла, во­шед­­шим в объ­ем и вышедшим из объема равна изменению количества тепла, содержащегося внутри это­го объема:

. (1.4.1)

Согласно закону Фурье плотность теплового потока за счет тепло­про­вод­ности в сечении x равна ,

а в сечении x+dx равна .

Ес­ли жид­кость движется со ско­рос­тью v по тру­бе се­чения S, то за еди­ницу вре­ме­ни че­рез это се­чение про­ходит жидкость с объ­е­мом Sv, мас­сой Sv и количеством тепла cTSv. По­э­то­му к плотности тепловых потоков, определяемых тепло­про­вод­ностью в урав­не­ние баланса энергии надо до­ба­вить сла­гаемые cTSv и c(T+dT)Sv, учи­ты­ва­ю­щие кон­век­тив­ный перенос в сечениях x и x+dx со­­от­вет­ст­вен­но. Далее, обозначим через p пе­ри­метр се­че­ния, тогда площадь боковой по­верх­нос­ти выделенного эле­мента равна pdx, и, со­глас­но фор­му­ле (1.3.4), через эту по­верх­ность про­те­ка­ет за единицу времени количество тепла, рав­ное p(T₀ - T)dx, где  - коэффициент теп­ло­об­ме­на с окружающей средой, T₀ - температура ок­ру­­жа­ю­щей среды. Если T > T₀, то тепло уходит в окружающую среду, и на­о­бо­­рот, если T < T₀, то теп­ло течет из окружающей среды в трубу. Кроме этого, внутри трубы могут действовать ис­­точ­ники теп­ла - положительные или от­ри­ца­тель­ные. Например, могут ид­ти хи­ми­чес­кие ре­ак­ции с вы­делением или по­гло­ще­нием теп­ла; может выделяться джоулево тепло, если течет элек­т­ри­чес­кий ток; может происходить вы­­де­ле­ние тепла в результате по­гло­ще­ния элек­тро­маг­нит­ного из­лу­чения и т.п. Обозначим через f(x,t) ко­ли­чест­во выделяемого или по­гло­щаемого тепла в еди­ни­цу времени в единице объ­е­ма, тогда в рас­смат­ри­ва­е­мом элементе, находящемся меж­­ду се­че­ни­ями x и x+dx, в единицу времени вы­де­ля­ется (или поглощается) количество теп­ла, равное fSdx, при­чем эта величина счи­тается по­ло­жи­тель­ной, если тепло выделяется, и от­ри­­ца­тель­ной, если по­глощается.

Таким образом, уравнение баланса энергии для выделенного элемента, на­хо­дя­щегося меж­­ду сечениями x и x+dx, принимает вид:

Разделим на S обе части этого уравнения и раскроем скобки:

.

Первое и третье, второе и пятое слагаемые слева взаимно уничтожаются. Далее разделим обе части на dx:

,

и после деления на c получим:

. (1.4.1)

Это и есть одномерное уравнение теплопроводности для тонкого стержня или тру­бы с кон­век­тив­ным переносом тепла и с теплообменом на боковой по­верх­ности. Значение v в этом урав­нении может быть положительным, если ско­рость направлена по оси x (как показано на ри­сунке) и отрицательным, если скорость направлена в противоположную сторону. Если ско­рость равна нулю, то получится уравнение для неподвижной среды. Если труба имеет круглое сечение радиуса R, то периметр этого сечения p = 2R, а площадь сечения S = R², и урав­не­ние (1.4.1) при­ни­мает вид:

. (1.4.2)