Кислицын Шабаров УМК Тепломассообмен / КраткийКонспектЛекций / Тема2-2

2.2.Стационарное температурное поле в цилиндрической области.

2.2.1.Общее решение и его свойства.

Пусть пространство между двумя коаксиальными ци­линд­ра­ми (тру­бами) с радиусами R₁ и R₂ заполнено неподвижной средой (см. ри­сунок). Будем счи­тать, что длина цилиндров много больше их ра­ди­усов, температура среды за­ви­сит только от радиуса r (от рас­сто­я­ния до оси), вдоль z не меняется и от угла  не зависит (в этом случае говорят, что задача является аксиально-сим­мет­рич­ной, или имеет осе­вую симметрию).

Тогда от оператора Лапласа в цилиндрических координатах (см. формулу (1.2.6)) остается только радиальная часть; условие ста­­ци­о­нар­ности означает, что ; т.к. температура за­висит толь­ко от одной переменной r, то вме­с­то част­ных производных мож­но писать пол­ные производные, и уравнение теплопроводности при­ни­мает вид:

, или . (2.2.1)

Отсюда ;

; (2.2.2)

, (2.2.3)

где C₁ и C₂ - константы интегрирования, которые должны быть определены из граничных условий.

Из полученного общего решения можно сделать два важных вывода.

1). Если область r = 0 не иск­лючена (т.е. если внутренний цилиндр от­сут­ст­вует, и все прост­ранст­во внутри внешней тру­бы заполнено сплошной сре­дой), то из ис­ход­ного уравнения (2.2.1), а также из формул (2.2.2) и (2.2.3) сле­ду­ет, что константа C₁ должна равняться ну­лю, (иначе про­из­вод­ная dT/dr в точке r = 0 будет бесконечно большой), т.е. должно быть = 0. Фи­зи­чес­ки это оз­начает, что температура на оси должна иметь либо мак­си­маль­ное, либо ми­нимальное зна­че­ние, что для осесимметричной задачи совершенно очевидно. Но в этом случае из (2.2.3) сле­ду­ет, что T = C₂ = const, т. е. температура во всей об­ласти постоянна. Дру­гими словами, если ось r = 0 не исключена, то ста­цио­нар­ная задача теплопроводности в ци­линдрической области имеет только три­виальное решение T = const. Подчеркнем еще раз, что этот вывод относится толь­ко к стационарному решению.

2). Если пространство, занятое средой, не ограничено (т.е. если внешний ци­линдр от­сут­ст­вует, и все прост­ранст­во вокруг внутренней тру­бы заполнено сплош­ной средой), то из фор­му­лы (2.2.3) следует, что константа C₁ должна рав­нять­ся ну­лю (иначе температура при r   будет неограниченно расти), т.е. и в этом случае T = C₂ = const. В частности, если в не­о­гра­ни­чен­ной среде находится ис­точник тепла в форме бесконечно длинной трубы или нити (на­при­мер, про­вод­ник с электрическим током), то стационарное распределение температуры ни­когда не будет достигнуто (оно было бы достигнуто, когда температура всей сре­ды стала бы равной температуре источника тепла, но для неограниченной среды для этого требуется бесконечно большое время). Ниже мы увидим, что для источника тепла сферической формы стационарное распределение тем­пе­ра­ту­ры существует.

Итак, стационарная осесимметричная задача теплопроводности может иметь не­три­ви­аль­ное решение толь­ко в области 0 < R₁  r  R₂ < .

2.2.2.Граничные условия 1-го и 2-го рода.

Пусть поверхности внутреннего и внешнего цилиндров поддерживаются при постоянных температурах T₁ и T₂ соответственно (граничные условия 1-го рода). Тогда, подставляя эти значения в формулу (2.2.3), получаем систему уравнений

; ,

решая которую находим константы интегрирования С₁ и С₂:

; .

Подставляя найденные значения С₁ и С₂ в (2.2.3) и (2.2.2), получим формулу для ста­ци­о­нар­ного тем­пе­ра­тур­но­го поля в ци­лин­дрической области:

, (2.2.4)

и формулу для плотности теплового потока:

. (2.2.5)

Теперь рассмотрим задачу с граничным условием 2-го рода. Пусть внутренний цилиндр является нагревателем (например, электро­на­гре­ва­те­лем), и через его поверхность задан по­сто­ян­ный поток тепла:

, (2.2.6)

где W — мощность нагревателя (заданная постоянная величина), а L - его дли­на. Температура внешнего цилиндра, как и прежде, пусть поддерживается пос­то­янной:

, (2.2.7)

т.е. на внешней поверхности задано условие 1-го рода.

Подставляя (2.2.6) в (2.2.2), найдем константу C₁:

, (2.2.8)

а затем подставляя (2.2.6) и (2.2.8) в (2.2.3), найдем константу C₂:

. (2.2.9)

Таким образом, распределение температуры в пространстве между на­гре­ва­телем и внеш­ним цилиндром данном случае может быть представлено в следующим образом:

, (2.2.10)

температура Т₁ на внутреннем цилиндре теперь определится из решения (2.2.10):

, (2.2.11)

а плотность потока тепла:

. (2.2.12)

2.2.3.Многослойная цилиндрическая стенка.

Многослойные цилиндрические покрытия на практике применяются до­воль­но часто (на­при­мер, теплоизоляция на трубопроводах теплотрассы и др.). В стационарном режиме ко­ли­чест­во тепла, проходящего через каждый слой, оди­на­ково и постоянно, и расчет термического сопротивления и плотности теп­ло­во­го потока для многослойного ци­линдрического покрытия можно вы­пол­нить ана­­логично тому, как это было сделано выше для плоской стенки. В ре­зуль­та­те не­сложных вычислений получаем:

, (2.2.13)

, (2.2.14)

где q_L - тепловой поток на единицу длины трубы, n - количество слоев, r_i, _i - внутренний ра­ди­ус и коэффициент теплопроводности i-го слоя, T_n+1 - тем­пе­ра­ту­ра поверхности наружного покрытия.

Для многослойной ци­линдрической стен­ки при граничных условиях 3-го рода теп­ло­вое со­про­тив­ле­ние единицы длины трубы определяется формулой:

. (2.2.15)