3.11.Температурные волны в полуограниченной среде.

Найдем решение уравнения теплопроводности для полуограниченной сре­ды с пе­ри­о­ди­чес­ки меняющейся (по закону синуса или косинуса) тем­пе­ра­ту­рой на границе. Подобные про­цес­сы происходят в некоторых технических уст­рой­ствах, в приборах для определения теп­ло­фи­зических характеристик ве­ществ, а также при прогреве почвы в природных условиях. Если периодический на­грев продолжается достаточно долго, то начальные условия перестают ска­зы­вать­ся, и тогда говорят, что в среде установился регулярный режим изменения тем­­пе­ра­ту­ры.

Задача о распространении температурных волн в почве была впервые рас­смот­рена Фурье в начале 19 ве­ка; это один из первых примеров приложения те­о­рии теплопроводности к изу­че­нию при­род­ных явлений. Температура на по­верх­ности земли имеет четко выраженную су­точ­ную и го­до­вую периодичность, при­чем эта периодичность установилась настолько давно, что влияние на­чаль­ных условий практически не сказывается на распределении температуры.

Будем рассматривать почву как однородное полуограниченное по­лу­про­ст­ран­ст­во . Требуется найти решение уравнения теплопроводности:

(3.11.1)

с граничным условием на поверхности х = 0:

T(0,t) = Acos(t). (3.11.2)

Запишем это условие в виде:

T(0,t) = Aexp(it) (3.11.2’)

и будем искать решение уравнения (3.10.1) в виде

T(x,t) = Aexp(x +  t) (3.11.3)

где и пока неизвестные константы. Из линейности уравнения теп­ло­про­вод­нос­ти следует, что действительная и мнимая части этого решения (каждая в от­дель­ности) также будут ре­ше­ни­ями уравнения (3.11.1), причем действительная часть будет удовлетворять условию (3.11.2).

Дифференцируя (3.11.3), находим:

, .

Подставляем эти формулы в (3.11.1):

, отсюда . (3.11.4)

Далее, подставляем (3.11.3) в (3.11.2’): tt,

отсюда

i. (3.11.5)

Таким образом, .

Заметим, что

отсюда:

. (3.11.6)

Подставляя в (3.11.3) найденные значения и (формулы (3.11.5) и (3.11.6)), получаем

.

Действительная часть этого выражения и есть решение задачи:

. (3.11.7)

Знак “минус” перед корнем выбран здесь из физических соображений (при х  решение дол­ж­но быть ограничено); кроме этого для удобства знак аргумента косинуса заменен на про­ти­воположный, это можно сделать, т.к. косинус - чет­ная функция.

Отметим следующие особенности полученного решения:

1). Амплитуда колебаний экспоненциально убывает с глубиной, причем ско­рость этого затухания зависит от . Чем больше (т.е. чем меньше пе­ри­од колебаний ), тем быстрее эти колебания затухают. В частности, суточные ко­ле­бания, имеющие частоту в 365 раз боль­ше, чем годовые, затухают с глу­би­ной в раз быстрее, чем годовые колебания. Ско­рость затухания ко­ле­ба­ний с глубиной можно выразить и по-другому: через глубину про­ник­новения ка­­кой-либо изотермы, т.е. можно сказать, что при одинаковой амплитуде на по­верх­ности глубина проникновения некоторой изотермы для годовых колебаний при­мерно в 19 раз больше глубины проникновения той же изотермы для су­точ­ных колебаний.

Измеряя амп­ли­туду ко­ле­ба­ний на поверхности и на некоторой глубине х, можно оп­ре­де­лить коэффициент тем­пе­ра­ту­ро­проводности почвы:

,

отсюда:

. (3.11.8)

2). Температурные колебания в почве на некоторой глубине x происходят со сдвигом по фазе относительно колебаний на поверхности. Фаза колебаний на поверхности , а фаза колебаний на глубине x равна . Отсюда сдвиг по фазе равен

, (3.11.9)

а время запаздывания  максимумов (или минимумов) температуры от­но­си­тель­но по­верх­нос­ти равно (из условия равенства фазы нулю):

. (3.11.10)

Из этих соотношений также можно определить коэффициент тем­пе­ра­ту­ро­про­водности а:

, или . (3.11.11)

3). Термин "температурная волна" является условным. В отличие от "на­сто­я­щих" волн, например, от электромагнитной волны, у температурной волны от­сут­ствует на­правленное перемещение энергии, т.к. поток тепла за период равен нулю. Другим отличием яв­ля­ется то, что температурная волна не имеет вол­но­во­го фронта, т.е. поверхности, которая от­де­ля­ет область, куда волна дошла, от об­лас­ти, где она отсутствует.

Следует иметь в виду, что изложенная здесь теория относится к рас­про­ст­ра­­не­нию тепла в су­хой почве или в горных породах. Наличие влаги усложняет тем­пературные яв­ле­ния в почве, т.к. в этом случае приходится учитывать кон­век­тивный перенос тепла и, кроме то­го, при за­мер­зании происходит выделение скрытой теплоты, не учитываемое этой теорией.