14 (1). Экспериментальные доказательства существования спина и магнитного момента электрона.

Опыт Штерна и Герлаха (Stern O., Gerlach W., 1921-1922гг).

Сила, действующая на диполь в направлении Zравна:

Итак,

так что в зависимости от ориентации вектора

(т.е. от угла α) диполь будет смещаться вдольZлибо в сторону увеличения, либо в сторону уменьшения индукции внешнего поля. Измеряя отклонение пучка атомов можно не только доказать существование магнитного момента атома, но и измерить его, а также проверить правила квантования. Главная техническая трудность опыта состояла в создании такого поля, чтобы его неоднородность была заметна на расстояниях порядка размера атома. Такую неоднородность удалось создать специальным выбором формы полюсных наконечников магнита.

Если атомы могут ориентироваться произвольно относительно внешнего поля, то узкий первоначальный пучок растянется в широкую полосу в соответствии с произвольным значением cosαв пределах –1≤cosα≤+1. Если же ориентация магнитных моментов подчиняется правилам квантования, т.е. еслиcosαможет принимать только определенные дискретные значения, то первоначальный пучок расщепится на несколько пучков. Опыт с серебром показал, что пучок расщепляется на два пучка: на экране возникают две полоски симметрично осиY. Позднее подобные опыты были поставлены с водородом и щелочными металлами; их результаты аналогичны.

Восновном состоянии 5s1 атом серебра имеет нулевой орбитальный момент, поэтому, если бы не было спина электрона, пучок вообще бы не расщеплялся. Опыт показал, что пучок расщепляется на два пучка; на экране возникают две полоски симметрично осиY. Таким образом, опыт свидетельствует, что электрон имеет спин, и проекция спина на направление поля может принимать два значения. По скорости пучка и величине отклонения был измерен собственный магнитный момент электрона. Он оказался равным, как уже говорилось

Опыт Эйнштейна и де-Гааза (Einstein A., de Haas W., 1915г).

Внутри соленоида на тонкой кварцевой нити подвешен металлический

стержень (игла). С помощью зеркала измеряется угол поворота иглы.→

При пропускании через соленоид тока игла намагничивается – магнитные моменты атома ориентируются вдоль поля соленоида. Но магнитный момент связан с механическим, поэтому при намагничивании иглы механические моменты атомов ориентируются в направлении, противоположном направлению В. До включения магнитного поля игла покоилась. При намагничивании на иглу не действуют никакие закручивающие внешние силы, поэтому общий момент импульса иглы должен остаться неизменным. Следовательно, механический момент атомов, ориентированный против поля, должен компенсироваться моментом всей иглы, направленным противоположно, т.е. игла должна повернуться, и нить закручивается.

Конечно, этот эффект очень мал. Поэтому для его усиления был использован резонанс: через соленоид пропускался переменный ток с частотой, близкой к собственной частоте крутильных колебаний иглы, подвешенной на нити. При этих условиях эффект был доступен для достаточно точных измерений не только с ферромагнитными веществами, но и с парамагнитными.

Отношение магнитного момента к механическому, определенное из этих опытов, оказалось равным e/me, т.е. вдвое большим, чем для орбитального момента. Этот результат указывает, что намагничивание иглы обусловлено не орбитальными электронными токами, а собственными магнитными моментами электронов.

Опыт Барнета (Barnett S., 1909 – 1915 гг.)(см рис →)

Опыт Барнета – обратный опыту Эйнштейна – де-Гааза. Железный стержень приводился в быстрое вращение (100 об/сек).Электроны при вращении ориентируются в направлении оси вращения, что приводит к намагничиванию стержня. При вращении стержня в противоположном направлении он перемагничивается. Величина возникающего при вращении стержня магнитного поля очень мала (в 1000 раз меньше магнитного поля Земли). Потребовалось несколько лет работы, чтобы добиться необходимой точности измерения (ок. 1%).

Итак, наличие спина и собственного магнитного момента электрона доказано прямыми экспериментами. В дальнейшем выяснилось, что свойство спина не является исключительной особенностью электронов. Спином обладают протоны, нейтроны и другие элементарные частицы. При этом одни частицы имеют спин, равный полуцелому числу ћ (1/2ћ, 3/2ћ,…), к ним принадлежат электроны, протоны, нейтроны и др. Другие частицы имеют спин, равный целому числу ћ. Это, например, фотоны, пи-мезоны и др.

15 (0). Ферми- и Бозе- частицы. Принцип Паули.

Принцип тождественности одинаковых частиц.

Элементарные частицы, в частности, электроны обладают удивительной особенностью: они абсолютно тождественны, т.е. ничем не отличаются друг от друга. Если в некоторой системе мы поменяем местами, например, два электрона, переставив один на место другого, то такая перестановка не приведет ни к каким изменениям и не сможет быть обнаружена экспериментально. В этом заключается принцип тождественности, или неразличимости одинаковых частиц, из которого следуют очень важные выводы.

Рассмотрим, например, систему из двух частиц. Пусть состояние этой системы описывается волновой функцией , гдеx– совокупность всех декартовых координат частицы. Переставим частицы местами. Система частиц после перестановки, согласно принципу неразличимости, не отличается от исходной системы. Поэтому (15.1) или (15.2)

Т.е. волновая функция либо не меняется при перестановке частиц (такая функция называетсясимметричной), либо меняет знак (такая функция называетсяантисимметричной). Соответственно существует два типа частиц. Одни описываются симметричными функциями, называютсябозе-частицами(короткобозонами) и подчиняются статистике Бозе - Эйнштейна (BoseSh.,EinsteinA.). Результаты экспериментов показывают, что к бозонам принадлежат частицы, имеющие спин, равный целому ћ или нулю (фотоны, пи-мезоны, альфа-частицы и др.).

Другие элементарные частицы описываются антисимметричными функциями, называются ферми-частицами(короткофермионами) и подчиняются статистике Ферми - Дирака (FermiE.,DiracP.). Фермионами являются все частицы, имеющие полуцелый спин (протоны, нейтроны, мю-мезоны, кварки, и др.), а также электроны, которые в этом курсе нас интересуют больше всего.

Для систем из ферми-частиц (в частности из электронов) имеет место один из важнейших принципов квантовой механики – принцип Паули, или принцип исключения.

Принцип Паули (PauliW., 1925 г)

Рассмотрим этот принцип сначала на простейшем примере – системе из двух электронов. Пусть первый электрон находится в состоянииA, а второй в состоянииB. Т.к. электроны неразличимы, то

или

где выбран знак “–“, т.к. электроны описываются антисимметричными функциями.

Сдругой стороны, волновую функцию системы электронов можно представить в виде произведения волновых функций отдельных электронов:

Т.к. электроны неразличимы, то невозможно установить, какая из функций или

описывает состояние системы в любой данный момент времени.

Можно сказать, что состояние системы описывается обеими волновыми функциями с равной вероятностью; или по-другому: система половину времени проводит в состоянии , а половину времени в состоянии . Это означает, что на самом деле состояние рассматриваемой системы должно описываться линейной комбинацией обеих волновых функций, причем эта комбинация должна быть антисимметрична (т.е. менять знак при перестановке частиц).

"Истинная" волновая функция рассматриваемой системы должна иметь вид:

(15.3)

Отсюда следует, что если A=B, то Ψ = 0. Другими словами, вероятность пребывания системы в состоянииA=Bравна нулю.

Итак, оба электрона не могут одновременно находиться в одинаковых состояниях, т.к. в этом случае Ψ = 0.

Полученный результат легко обобщить на систему изNтождественных частиц. Состояние такой системы описывается произведением функций: (15.4)

причем при перестановке любой пары частиц (электронов) волновая функция меняет знак, но состояния, отличающиеся такими перестановками неразличимы. Возможны N! Таких перестановок, следовательно состояние системы должно описываться линейной комбинацией всехN! функций вида (15.4), причем эта комбинация должна быть антисимметрична.

Существует единственная антисимметричная относительно любой пары частиц волновая функция:

(15.5)

Перестановке двух любых частиц соответствует перестановка двух столбцов определителя; при этом сам определитель меняет знак, сохраняя свою величину.

Но если два столбца определителя окажутся одинаковыми, то волновая функция обратится в нуль. Т.е. две частицы (два электрона) не могут находиться в одинаковых состояниях (вероятность этого равна нулю, т.к. волновая функция равна нулю). Это и есть один из важнейших принципов атомной физики, установленный Паули в 1925 г: “В любой физической системе (в частности, в атоме) не может существовать двух электронов в одном и том же состоянии.” Принцип Паули справедлив не только для систем из электронов, но и из любых ферми-частиц, в частности для протонов и нейтронов в ядре, кварков в протоне и нейтроне и т.д.

Состояние любого электрона в атоме может быть полностью охарактеризовано четверкой квантовых чисел: n, l, m, ms. Поэтому принцип Паули применительно к атому может быть сформулирован так: в атоме не может быть двух или более электронов с одинаковой четверкой квантовых чисел.