§4. Дифференциальное исчисление

ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ

4.1. Частные производные

Пусть - функция двух переменных.

Две частные производные первого порядка:

и(илии).

Четыре частных производных второго порядка:

,,и(или,,и).

Если смешанные производные инепрерывны в некоторых точках, то в этих точках выполняется равенство:.

Аналогично определяются производные высших порядков.

Дифференциал первого порядка:

.

Дифференциал второго порядка:

.

4.2. Дифференцирование сложных и неявных функций

(1) Сложная функция , гдет.е..

Тогда .

(2) Сложная функция где,.

Тогда ;

.

(3) Неявная функция определяется уравнениемне разрешенным относительно. Тогда частные производные можно найти по формулам:

4.3. Приближенные вычисления с помощью производных

Пусть необходимо вычислить значение функции в точке, если известно значение функции в точке.

Тогда ,

где дифференциал ,

, .

4.4. Локальные экстремумы

Алгоритм нахождения локальных экстремумовфункции двух переменных:

1. Находим первые частные производные и.

2. Решая систему , определяем подозрительные на локальный экстремум точки.

3. Находим вторые частные производные и составляем выражение.

4. В каждой подозрительной на локальный экстремум точке вычисляем значения вторых производных и .

5. Выбираем те точки, для которых >0. Делаем вывод о наличии в этих точках локального экстремума.

6. Для точек из п.5 определяем вид экстремума: если >0, то в точке локальный минимум, если<0, то – локальный максимум. Вычисляем значение функции в точках локальных экстремумов.

7. Выбираем из подозрительных на экстремум точек те, для которых <0. Делаем вывод о том, что в этих точках локального экстремума нет.

Если  в какой-либо точке равно нулю, то вопрос остается открытым.

4.5. Условные экстремумы

Алгоритм нахождения условных экстремумов функции при условии, заданном в виде.

1. Составляем функцию Лагранжа .

2. Находим первые производные функции Лагранжа и.

3. Решая систему уравнений , находим подозрительные на условный экстремум точкии соответствующие.

4. Находим вторые частные производные функции Лагранжа: и составляем выражение, в которомdx, dy – произвольные переменные приращения.

5. Полученные в п.3 точки и  подставляем в выражение .

6. Находим и. Составляем равенство. Подставляем каждую из подозрительных точек (из п.3) и выражаемчерезиличерез.

7. Подставляем найденное выражение из п.6 в выражение из п.5 и приводим к видуили

8. Если >0, то в данной точке условный минимум; если<0, то в данной точке условный максимум. Вычисляем значение функциив каждой точке условного экстремума.

15

Справочный материал. Математический анализ. 1 семестр.