Раздел 2. Конечные автоматы
Лекция 4.
Тема лекции. Конечные автоматы.
4.1. Конечные автоматы
Конечный автомат представляет собой пятерку
где, Q - конечное множество состояний автомата,
T - непустое конечное множество входных символов, входной алфавит,
- начальное
состояние,
- непустое множество
заключительных состояний автомата,
t- переходная функция
Такой автомат
работает как распознаватель следующим
образом (рис.1.11). На ленте записана
входная строка, ограниченная с двух
сторон концевыми маркерами. Управляющее
устройство находится в начальном
состоянии
.
Входная лента последовательно
просматривается слева направо по одному
символу. Допустим, что с помощью
считывающей головки оказались просмотрены
символы
и управляющее устройство находится в
состоянии
.
Символ
допускается, если существует хотя бы
одно состояние
.
Если такого состояния не существует, автомат останавливает свою работу. В общем случае таких состояний может быть несколько, и распознаватель будет недетерминированным, т.е. речь в этом случае будет идти о недетерминированном конечном автомате.
Строка
допускается автоматом, если существует
последовательность состояний
,
такая, что
,
где
и после прочтения последнего символа
строки был встречен концевой маркер.
Предполагается, что начальный маркер
читается в состоянии
.
Этот факт можно записать с помощью
функции перехода следующим образом
.
В этом случае функцию перехода,
соответствующую одному такту работы
распознавателя, можно рассматривать
как частный случай ее общей формы записи
для строки x
содержащей один символ
и состояния
.
Таким образом, функцию t
можно определить рекурсивно
,
если строка
,
где
и
.
Множество всех строк T(A), допускаемых автоматом A, может быть записано в виде
Если
праволинейная грамматика, то, как
доказано в [4] существует конечный автомат
такой, что
.
Этот автомат строится из грамматики
следующим образом. Множество состояний
можно получить объединением множества
нетерминальных символов и специально
введенного конечного состояния
,
т.е.
.
Соответственно начальное состояние
совпадет с начальным символом грамматики
.
В качестве входного алфавита используется
множество терминальных символов T.
Определим функцию перехода для каждой
продукции грамматики.
,
если существует правило
и
;
,
если существует правило
;
во всех остальных
случаях.
Таким образом, число элементов области определения функции переходов, для которых ее значение не пустое множество, в точности равно числу продукций в грамматике.
Практика показала,
что одним из удобных способов задания
функции переходов является граф
переходов
или его еще называют граф
состояний.
Граф состояний
является направленным графом и строится
следующим образом. Каждому состоянию
множества Q
соответствует одна вершина множества
V.
Все вершины, кроме
заключительных, обозначаются на рисунках
в виде окружностей. На начальную вершину,
соответствующую начальному состоянию
автомата, указывает стрелка. Заключительная
вершина изображается прямоугольником.
Ребро
существует на графе, если для символа
и состояния
значение функции
t(B,a)
не пусто и равно
.
На рис. 1.12 изображен граф состояний
автомата A.
,
где
Граф состояний
автомата, построенного на основе
праволинейной грамматики
,
показан на рис. 1.13. Покажем соответствие
между продукциями грамматики G
и элементами функции перехода автомата.
где f - заключительное состояние автомата.
Рассмотрим еще один пример грамматики, порождающей следующие предложения языка
Продукции этой грамматики имеют вид
Построим для этой грамматики конечный автомат. Граф его состояний приведен на рис. 1.14.
По графу видно, что конечный автомат недетерминированный, поскольку из состояния S выходят два ребра с символом a. Функция перехода для символа a в состоянии S имеет два значения.
Как известно,
недетерминированный автомат достаточно
сложно использовать для разбора. Поэтому
нас интересует возможность преобразования
недетерминированного автомата в
детерминированный. Для конечных автоматов
этот вопрос решается положительно.
Доказано [4], что, если A
- недетерминированный автомат, то
существует детерминированный автомат
A',
такой, что
.
Допустим, что функция переходов
имеет множество значений
.
Будем считать это множество одним новым
состоянием q'.
Присоединим это состояние к множеству
состояний Q
автомата, т.е.
.
Определим функцию перехода для нового
состояния q'.
для всех
Выполнив данное преобразование для всех функций перехода, имеющих не единственное значение, получим детерминированный автомат. Запишем для приведенного выше примера все функции перехода.
Введем новое
состояние
и перепишем функции перехода.
так как одно
состояние из
f
- конечное, а
Граф состояний полученного детерминированного автомата показан на рис. 1.15.
/*------------------------*/
#include <iostream.h>
int sntx(lenta,pread)
int *pread;
char lenta[80];
{ int i;
struct state;
struct rebro{
char t;
state *p;
} sr[2],dfr[1],dr[1];
rebro *vr;
struct state{
int n;
char k;
rebro *r;
} s,df,d;
state * v;
/*----------------------------*/
s.n=2;
s.k='0';
s.r=&sr[0];
sr[0].t='a';
sr[0].p=&df;
sr[1].p=&d;
sr[1].t='b';
df.n=1;
df.k='k';
df.r=&dfr[0];
dfr[0].t='0';
dfr[0].p=&df;
d.n=1;
d.k='0';
d.r=&dr[0];
dr[0].t='0';
dr[0].p=&df;
/*-----------------------------------*/
v = &s;
i = 1;
vr=(*v).r;
while (i<=(*v).n) {
if ((*vr).t == lenta[*pread]) {
(*pread)++;
v=(*vr).p;
vr=(*v).r;
i=1;
}
else {i++;vr++;}
}
if ((lenta[*pread] == 'k') && ((*v).k == 'k'))
return 0;
else
return 1;
}
main()
{
char stroka[80];
int n, sm;
int *psm = &sm;
for (n=1; n<10;
n++)
{
cin >> stroka;
sm = 0;
if (sntx(stroka,psm) == 0)
cout << "all right \n";
else
cout << "error column -> " << sm+1 << "\n";
}
}