3.Однофакторный дисперсионный анализ.

Пусть результаты наблюдений составляют l независимых выборок , полученных изl нормально распределенных генеральных совокупностей , которые имеют различные средние ,,…, и равные дисперсии. Проверяется гипотезао равенстве средних. На практике такая задача возникает при исследовании влияния , которое оказывает изменение некоторого фактора на измеряемую величину . Например , если измерения проводятся наl различных приборах , то можно исследовать влияние фактора (прибор ) на результат измерений . Приl=2 для проверки гипотезы используются известные критерии значимости . Еслиl>2 , то для проверки гипотезы о равенствеl средних применяют однофакторный дисперсионный анализ, суть которого состоит в следующем.

Пусть обозначаетi-й элементk-й выборки ,i=1,2,…,n ,k=1,2,…,L; -выборочное среднееk-й выборки т.е.

; – общее выборочное среднее т.е., гдеn – число наблюдений.

Общая сумма квадратов отклонений наблюдений от общего среднего может быть представлено так:

Это основное тождество дисперсионного анализа. Запишем его в виде , где– общая сумма квадратов отклонений наблюдений от общего среднего,– сумма квадратов отклонений выборочных среднихX kот общего среднегоX (между группами), – сумма квадратов отклонений наблюдений от выборочных средних групп (внутри групп).

Если верна гипотеза ,то статистики инезависимы и имеют распределение сl-1 иn-lстепенями свободы. Следовательно, статистики и являются несмещенными оценками неизвестной дисперсии.Оценка характеризует рассеяние групповых средних, а – рассеяние внутри групп , которое обусловлено случайными вариациями результатов наблюдений . Значительное превышение величины над значением можно объяснить различием средних в группах . Отношение этих оценок имеет распределение Фишера т.е..

Статистика используется для проверки гипотезы. Гипотеза не противоречит результатам наблюдений, если выборочное значение статистики меньше квантили.В этом случаеи являются несмещенными оценками параметров и. Если, то гипотеза отклоняется и следует считать, что среди средних имеется хотя бы два не равных друг другу.