Матричное исчисление

     Обозначения, терминология

     Матрица размеров - система mn чисел (элементов матрицы), расположенных в прямоугольной таблице из m строк и n столбцов. Если m = n, матрицу называют квадратной матрицей порядка n. Обозначения:

или более кратко соответственно

     Две матрицы А и B одинаковых размеров равны (запись А = В), если

      - нулевая матрица,

      - матрица, противоположная матрице A,

      - трапециевидная (ступенчатая) матрица

- матрица-строка.

- матрица-столбец,

- верхняя треугольная матрица,

- нижняя треугольная матрица,

- диагональная матрица,

- скалярная матрица,

- единичная матрица,

(кратко: где - символ Кронекера).

     Если все действительны, то матрица A называется действительной; если хотя бы одно из чисел комплексное, то матрица называется комплексной.

Сложение матриц

     Суммой матриц и одинаковых размеров называется матрица тех же размеров, у которой Обозначение: C = А + В.

     Свойства сложения матриц: А + В = В + А, (А + В) + С = A + (B + C), А + 0 = A, А + (-A) = 0, A, B, C.

     Вычитание матриц

А - В = А + (-В).

     Умножение матрицы на число

     Произведением матрицы на число называется матрица тех же размеров, у которой Обозначение:

     Свойства , и

     Умножение матриц

     Произведением матрицы размером на матрицу размером назвается матрица размером у которой Обозначение: C = AB.

     Свойства AE = EA = A, AO = OA = O, (AB)D = A(BD), (AB) = (A)B = A(B), (A + B)D=AD + BD, D(A + B) = DA + DB (при условии, что указанные операции имеют смысл).

     Для квадратных матриц А и B, вообще говоря,

     Транспонирование матриц

     Свойства:

Специальные классы квадратных матриц

     Симметрические матрицы:

- симметрическая

     Кососимметрические матрицы:

- кососимметрическая

     Ортогональные матрицы:

- ортогональная

     Невырожденные (неособенные) матрицы:

     Вырожденные (особенные) матрицы:

     Обратная матрица

     Матрица - обратная для матрицы A, если

     Для квадратной матрицы A обратная существует тогда и только тогда, когда

где - алгебраические дополнения элементов матрицы A.

     Свойства:

Элементарные преобразования матрицы

     Элементарными преобразованиями матрицы называют:

     1) умножение какой-нибудь строки (столбца) на отличное от нуля число;

     2) прибавление к какой-нибудь строке (столбцу) другой ее строки (столбца), умноженной на произвольное число;

     3) перестановку местами любых двух строк (столбцов).

     Вычисление обратной матрицы

     Если с помощью элементарных преобразований строк квадратную матрицу A можно привести к единичной матрице E, то при таких же элементарных преобразованиях над матрицей E получим .

     Пример.

     Ранг матрицы

     Ранг матрицы - наивысший порядок отличных от нуля ее миноров. Обозначение: rank A.

     Базисный минор матрицы - любой отличный от нуля минор порядка r = rank A.

Системы линейных уравнений

     Общий вид системы

, i = 1, 2, ..., m; j = 1, 2, ..., n, - коэффициенты системы; - свободные члены; - переменные;

     Если все = 0, система называется однородной.

     Матричная запись системы линейных уравнений

AX = B,

где

     Матрицу A называют матрицей (или основной матрицей) системы. Матрицу

называют расширенной матрицей системы, а матрицу для которой AС = В, - вектор-решением системы.

     Критерий совместности линейных уравнений

     Система совместна тогда и только тогда, когда rank A = rank D.

     Правило Крамера

     Если m = n и то система совместна и имеет единственное решение или, что то же самое, где - определитель, полученный из det A заменой i-го столбца столбцом свободных членов.

Общее решение системы линейных уравнений

     Если система линейных уравнений AX = B совместна, rank A = r и, например, - базисный минор матрицы системы, то она равносильна системе

     Придавая переменным (свободным переменным) получаем однозначно (например, по правилу Крамера) Тогда - решение исходной системы.

     Метод Гаусса

     Метод Гаусса - метод последовательного исключения переменных. С помощью элементарных преобразований строк расширенной матрицы D системы матрицу A системы приводят к ступенчатому виду:

Если среди чисел есть отличные от нуля, система несовместна.

     Если то:

     1) при r = n исходная система равносильна системе:

имеющей единственное решение (сначала находим из последнего уравнения , из предпоследнего и т. д.);

2) при r < n исходная система равносильна системе:

имеющей бесчисленное множество решений ( - свободные переменные).

     Однородные системы линейных уравнений

     Однородная система линейных уравнений AX = 0 всегда совместна. Она имеет нетривиальные (ненулевые) решения, если r = rank A < n.

     Для однородных систем базисные переменные (коэффициенты при которых образуют базисный минор) выражаются через свободные переменные соотношениями вида:

     Тогда n - r линейно независимыми вектор-решениями будут:

а любое другое решение является их линейной комбинацией. Вектор-решения образуют нормированную фундаментальную систему.

     В линейном пространстве множество решений однородной системы линейных уравнений образует подпространство размерности n - r; - базис этого подпространства.

Определители

     Определения

     В перестановке чисел 1, 2, ..., n два числа и составляют инверсию, если i < j, но >. Число всех возможных инверсий данной перестановки обозначают Перестановку называют четной, если I - четное число, и нечетной, если I - нечетное число.

     Определитель (детерминант) квадратной матрицы - число (обозначение )

где означает, что суммирование производится по всем перестановкам чисел 1, 2, ..., n.

     В частности n = 2

при n = 3

     На рис. 5.2 проиллюстрирован закон, по которому составляется определитель матрицы третьего порядка: слева дано правило вычисления положительных членов определителя, справа - отрицательных.

     Миноры определителя

     Минор элемента определителя порядка n - определитель порядка n - 1, полученный из вычеркиванием i-й строки и j-го столбца.

     Главные миноры определителя

     Для главные миноры есть определители

Алгебраические дополнения

     Алгебраическое дополнение элемента определителя - определитель где - минор элемента .

     Разложение определителя

     По элементам i-й строки:

     По элементам j-го столбца:

     Например, при n = 4 разложение по первой строке

     Свойства определителя

     1.

     2. Если все элементы какой-нибудь строки (столбца) определителя равны нулю, то определитель равен нулю.

     3. Если матрица B получена из матрицы A перестановкой двух каких-либо ее строе (столбцов), то

     4. Общий множитель всех элементов произвольной строки (столбца) определителя можно вынести за знак определителя.

     5. Определитель, содержащий две пропорциональные строки (столбца), равен нулю.

     6. Пусть - квадратная матрица порядка n; k - фиксированное натуральное число: - матрицы, которые получаются из A заменой ее k-й строки (столбца) соответственно строками (столбцами) Тогда

     7. Определитель не меняется от прибавления к какой-либо его строке (столбцу) другой его строки (столбца), умноженной на произвольное число.

     8. Если какая-либо строка (столбец) определителя есть линейная комбинация других его строк (столбцов), то определитель равен нулю.

     9.