Лекция 10. Свойства последовательностей

Лекция 10. Свойства последовательностей.

10.1. Монотонные последовательности.

Определение 10.1. Последовательность называется неубывающей (невозрастающей), если справедливо неравенство () для всех . Если неравенства строгие – последовательность называется возрастающей (убывающей).

Определение 10.2. Последовательность называется монотонной, если она является либо неубывающей, либо невозрастающей; строго монотонной – если она является возрастающей или убывающей.

♦ Утверждение 10.1. Невозрастающие (убывающие) последовательности ограничены сверху, неубывающие (возрастающие) – снизу.

♦ Теорема 10.1. Если неубывающая (невозрастающая) последовательность ограничена сверху (снизу), то она сходится.

Доказательство. Рассмотрим случай неубывающей и ограниченной сверху последовательности . Так как множество всех элементов последовательности ограничено сверху, то существует . По определению следует, что . Таким образом, или , .

По определению неубывающей последовательности при , но тогда , то есть , при . Имеем . Получаем, что сходится и имеет пределом .

Аналогично, доказывается факт, что невозрастающая и ограниченная последовательность сходится к . ■

☼ Замечание 10.1. Условие ограниченности монотонной последовательности представляет собой необходимое и достаточное условие её сходимости. ☼

♦ Утверждение 10.2. Всякая монотонная ограниченная последовательность сходится.

☼ Замечание 10.2. Отметим, что и для всех элементов неубывающей ограниченной сверху и невозрастающей ограниченной снизу последовательностей.

Заметим также, что не всякая сходящаяся последовательность монотонна, например: . ☼

10.2. Число Эйлера е.

Рассмотрим последовательность . Покажем, что она является строго возрастающей и ограниченной. Применив формулу бинома Ньютона, получим:

,

.

При замене n на n+1 каждая скобка вида увеличивается (так как ) и добавляется одно положительное слагаемое. Поэтому и, следовательно, – строго возрастающая последовательность. Докажем её ограниченность.

Учитывая, что (k=1,2,…,n–1) и что (n=3,4,…) получаем:

.

Для справедливо неравенство , но тогда .

Используем формулу суммы первых k членов геометрической прогрессии и получим, что . Таким образом, , последовательность – ограниченная, согласно утверждению 10.2 она имеет конечный предел. Этот предел определяет широко используемое в математике число е, которое называется эйлеровым числом:

.

Можно показать, что е – иррациональное число. Мы показали, что 2<e<3. С точностью до число е=2,718281828459045. Обычно в вычислениях используют е2,72.

Определение 10.3. Бесконечную последовательность сегментов , , , назовём стягивающейся системой сегментов, если , и .

♦ Теорема 10.2. У всякой стягивающейся системы сегментов существует, и притом единственная, точка с, принадлежащая всем сегментам этой системы.

Доказательство. Сначала докажем существование точки с.

Пусть – неубывающая последовательность; – невозрастающая последовательность. Т.к. обе последовательности сходятся, то и последовательность также сходится, . Обозначим общий предел , причём , так как . То есть с существует и принадлежит всем сегментам.

Докажем теперь единственность точки с. Пусть точка d>c принадлежит всем сегментам. Тогда отрезок тоже принадлежит всем сегментам и т.к. , то , следовательно, с=d. Таким образом, точка, принадлежащая всем сегментам системы единственна. ■

10.3. Произвольные последовательности.

Рассмотрим и произвольную возрастающую последовательность , ().

Выберем из элементы с номерами и расположим их в порядке возрастания номеров. Полученную таким образом новую последовательность принято называть подпоследовательностью исходной последовательности . Если – подпоследовательность сама есть последовательность. Ясно, что .

♦ Утверждение 10.3. Если последовательность сходится к пределу а, то любая её подпоследовательность сходится к тому же самому пределу а.

♦ Утверждение 10.4. Если все подпоследовательности некоторой последовательности сходятся, то все они сходятся к одному и тому же пределу а (к этому же пределу а сходится и вся последовательность).

♦ Утверждение 10.5. Любая подпоследовательность бесконечно большой последовательности представляет собой также бесконечно большую последовательность.

Определение 10.4. Точка х бесконечной прямой называется предельной точкой последовательности , если в любой -окрестности точки х содержится бесконечно много элементов этой последовательности.

Определение 10.5. Точка х бесконечной прямой называется предельной точкой последовательности , если из этой последовательности можно выделить подпоследовательность, сходящуюся к пределу х.

♦ Утверждение 10.6. Определения 10.4 и 10.5 эквивалентны.

Доказательство. Пусть в любой -окрестности точки х содержится бесконечно много элементов . Рассмотрим совокупность -окрестностей точки х, для которых последовательно равно . В первой из этих окрестностей выберем элемент , во второй , где и т.д.

, где .

Этот процесс будем продолжать неограниченно, т.к. в -окрестности точки x лежит бесконечно много элементов последовательности . В результате мы получим подпоследовательность последовательности , которая сходится к x, т.к. . ■

♦ Лемма 10.1. Каждая сходящаяся последовательность имеет только одну предельную точку, совпадающую с пределом этой последовательности.

Доказательство. Пусть сходится: , тогда а – предельная точка, т.к. любая подпоследовательность имеет предел а при .

Докажем единственность предельной точки a методом от противного.

Пусть b – предельная точка, тогда подпоследовательность при , но любая подпоследовательность имеет предел а и, таким образом, b=a. ■

 Пример 10.1. Последовательность имеет две предельные точки 0 и 2, то есть предела не имеет. 

♦ Теорема 10.3 (Больцано-Вейерштрасса). Из любой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность.

Доказательство. Т.к. последовательность ограничена, то она имеет хотя бы одну предельную точку x. В таком случае, из этой последовательности можно выделить подпоследовательность такую, что . ■

10.4. Необходимое и достаточное условие сходимости последовательности.

Определение 10.6. Последовательность называется фундаментальной, если для такой, что для всех и для всех натуральных p справедливо неравенство: .

♦ Теорема 10.4 (критерий Коши сходимости последовательности). Для того чтобы последовательность была сходящейся, необходимо и достаточно, чтобы она была фундаментальной.

Доказательство. 1) Необходимость. Пусть сходится и x – её предел. Тогда : : .

Для и – фундаментальная.

2) Достаточность. Пусть – фундаментальная, то есть она ограничена.

Доказывается равенство нижнего и верхнего предела, то есть последовательность сходится. ■

45