
Лекция 13. Замечательные пределы
.docЛекция 13. Замечательные пределы.
13.1. Первый замечательный предел.
♦ Теорема 13.1
(о пределе
промежуточной функции).
Если в
некоторой окрестности точки
(или при достаточно больших значениях
x)
функция
заключена между двумя функциями
и
,
имеющими одинаковый предел A
при
,
то функция
имеет тот же предел A.
Доказательство.
Пусть при
.
Это означает, что для любого
найдётся число
такое, что для всех
и удовлетворяющих условию
будут верны одновременно неравенства
и
или
,
.
Так как по условию
,
то
,
то есть
и это означает, что
.
■
♦ Теорема 13.2 (первый замечательный предел).
.
(13.1)
Доказательство.
Рассмотрим круг радиуса R
с центром в точке O
(рис. 13.1). Пусть OB
– подвижный радиус, образующий угол x
с осью OA.
Площадь треугольника AOB
меньше площади сектора AOB,
которая в свою очередь меньше площади
треугольника AOC,
то есть
.
|
|
Рис. 13.1. |
Таким образом,
.
Функции
и
чётные, поэтому полученные неравенства
справедливы и при
.
При переходе к пределу при
получим
,
и на основании теоремы 13.1 предел
промежуточной функции
.
■
Пример 13.1.
1)
.
2)
.
13.2. Второй замечательный предел.
Функция
при
и
(где х
в отличие от натурального n
«пробегает» все значения числовой оси)
имеет предел, равный числу е:
.
Этот предел называется вторым замечательным пределом.
Если положить
,
тогда
.
При
и получаем
.
Число е
называется числом
Эйлера
или неперовым
числом,
график функции
получил название экспоненты
(рис. 13.2). Логарифмы по основанию е
называются натуральными
логарифмами,
обозначаются
.
К числу е
приводят решения многих прикладных
задач статистики, физики, биологии,
химии, анализ таких процессов, как распад
радия, размножение бактерий и т.п.
|
Рис. 13.2. |
13.3. Нахождение пределов с помощью эквивалентных бесконечно малых функций.
Эквивалентные
бесконечно малые функции используются
при вычислении пределов отношений двух
бесконечно малых для раскрытия
неопределенностей вида
.
Запишем следствия
из 1-го и 2-го замечательных пределов в
виде таблицы эквивалентных бесконечно
малых. При
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 13.2.
1) Найти
.
При
и, значит,
.
Заменяя знаменатель на эквивалентную
бесконечно малую, получаем
.
2) Найти
.
.
3) Найти
.
.