Пример

Рассчитать расстояние между уровнями 1s, 2s и 3s ядра 90Zr для прямоугольной потенциальной ямы бесконечной глубины и ямы гармонического осциллятора.

В прямоугольной яме энергии уровней с l = 0

определяются соотношением En = (2nmRπ)22 ,

n — главное квантовое число, m — масса нуклона и R — радиус ядра (ширина ямы). Величина

расстояний между уровнями 1s, 2s и 3s будет

≈5×7,3 МэВ= 36,5 МэВ.

Вяме гармонического осциллятора выражение для

ω = 41A1/ 3 = 41×901/ 3 = 9,1 МэВ для 90Zr. Расстояние будет E1s→2s = E2s→3s = 2 ω =18,2 МэВ.

Частицавполе

сцентральнойсимметрией

Стационарное уравнение Шредингера частицы в сферически симметричном потенциальном поле U(r)

+U(r)ψ =Eψ.

Волновая функция ψ(r,θ,ϕ) может быть представлена как произведение радиальной функции Rnl (r) и угловой

функции Ylm (θ,ϕ)

ψ(r,θ,ϕ) = Rnl (r)Ylm (θ,ϕ)

Уравнения для нахождения собственных значений и собственных функций угловой и радиальной функций.

Орбитальныймомент L Проекцияорбитальногомомента Lz

Орбитальный момент количества

Они имеют следующие дискретные значения

Сферические функции (их называют также сферическими гармониками) Ylm (θ ,ϕ)

орбитального момента и его проекции на ось z . Сферические функции Ylm (θ ,ϕ) имеют

вид

Pl m (cosθ ) − функция Лежандра.

Орбитальный момент количества движения (2)

Для частицы, находящейся в сферически симметричном потенциале, величина орбитального момента количества движения L дается соотношением

L = l(l +1) .

Обычно, для упрощения, когда говорят о величине орбитального момента количества движения, называют этой величиной число l, имея в виду, что между l и L имеется однозначная связь

L = l(l +1) .

Так как величина l может принимать только целочисленные значения 0, 1, 2, 3,…, то и орбитальный момент количества движения квантуется. Например, для частицы с l = 2 момент количества

движения

L = 2(2 +1) = 6.58 10−22 6 МэВ с ≈ 2.6 10−34 Дж с.

Сферические функции

Сферические функции Ylm (θ , ϕ) удовлетворяют

уравнению

l = 0, 1, 2, …; m = l, l−1, …, −l.

Возможные значения орбитального квантового числа l

связаны со свойствами полинома Лежандра. Решение уравнения (*) существует только в том случае, когда

орбитальное квантовое число l имеет целочисленное

значение, включая 0. При этом оно должно быть больше абсолютного значения m или равно ему.

Орбитальный момент количества движения

Орбитальный момент количества движения является векторной величиной. Так как величина орбитального момента количества движения

квантуется, то и направление L по отношению к выделенному направлению z , например, к

внешнему магнитному полю, также квантуется (это называют пространственным квантованием) и принимает дискретные значения Lz = m, где m

изменяется от +l до −l , т. е. имеет 2l +1 значений. Например, при l = 2 величина m принимает значения +2, +1, 0, –1, –2. Энергия системы не

зависит от величины проекции орбитального

момента m, т. е. от направления вектора L , что

является очевидным следствием сферической симметрии системы.

Квантовые числа орбитального момента и его проекции

Появление квантовых чисел связано со свойствами симметрии системы. Характер этой симметрии диктует возможные значения квантовых чисел. Очевидно, что

система, описываемая функцией eimϕ ,

примет исходное значение только тогда, когда азимутальный угол ϕ в результате поворота вокруг оси z примет исходное

значение ϕ. Этому условию функция eimϕ

удовлетворяет только в случае, когда величина mϕ кратна 2π . Т.е. величина m

должна иметь целые значения. Так как необходимо учитывать вращение в двух

свойствами полинома Лежандра. Решение уравнения существует только в том случае, когда l целое число, включая 0.

При этом оно должно быть больше абсолютного значения m или равно ему.

Угловое распределение вероятности

Распределение угловой вероятности Ylm (θ,ϕ) 2 dΩ

нахождения частицы в s-, p- и d-состояниях в сферически симметричном потенциале