Модель Бора

Модель, предложенная Бором, впервые позволила удовлетворительно объяснить закономерность строения атома. Основные постулаты модели Бора:

1.Электрон равномерно вращается вокруг атомного ядра по круговой орбите под действием кулоновских сил в соответствии с законами Ньютона.

2.Разрешенными орбитами электрона

являются только те, для которых момент импульса электрона равен n .

3.При движении электрона по стационарной орбите атом не излучает энергию.

4.При переходе с орбиты с энергии Ei

на другую орбиту с энергией Ef ( Ei > Ef ) излучается фотон, имеющий энергию hν = Ei − Ef .

1923

Принцип

соответствия

Niels Henrik David Bohr

(1885-1962)

Всякая новая теория в физике должна сводиться к хорошо установленной, соответствующей классической теории, если эта теория прилагается к специальным случаям, которые успешно описываются менее общей теорией.

Нобелевская премия по физике

1922 г. – Н. Бор За работы по исследованию структуры

атомов и их излучений.

Рождениеиуничтожениечастиц

Позитрон является стабильной частицей и может в пустом пространстве существовать бесконечно долго. Однако при столкновении электрона и позитрона происходит их взаимное уничтожение

— аннигиляция. Электрон и позитрон исчезают, и

вместо них рождаются два γ–кванта

e+ +e− →2γ

Наряду с процессом аннигиляции был обнаружен процесс рождения пары электронпозитрон. В классической физике понятия частицы и волны резко разграничены: одни физические объекты являются частицами, а другие — волнами. Превращение пары электронпозитрон в фотоны стало дополнительным подтверждением представления о том, что между излучением и веществом много общего. Процессы аннигиляции и рождения пар заставили по-новому осмыслить природу элементарных частиц. Элементарная частица перестала быть неизменным «кирпичиком» в строении материи. Возникла новая чрезвычайно глубокая концепция взаимного превращения элементарных частиц. Оказалось, что элементарные частицы могут рождаться и исчезать, превращаясь в другие элементарные частицы.

Корпускулярныеиволновыесвойства частиц. Принципнеопределенности

Экспериментальное подтверждение идеи корпускулярноволнового дуализма привело к пересмотру привычных представлений о движении частиц и способе описания частиц. Для классических материальных точек характерно движение по определенным траекториям, так, что их координаты и импульсы в любой момент времени точно известны. Для квантовых частиц это утверждение неприемлемо, так как для квантовой частицы импульс частицы связан с ее длиной волны, а говорить о длине волны в данной точке пространства бессмысленно. Поэтому для квантовой частицы нельзя одновременно точно определить значения ее координат и импульса. Если частица занимает точно определенное положение в пространстве, то ее импульс полностью неопределен и наоборот, частица с определенным импульсом имеет полностью неопределенную координату. Неопределенность в значении координаты частицы x и

неопределенность в значении компоненты импульса частицы px связаны соотношением неопределенности,

установленным В. Гейзенбергом в 1927 году.

x px ≈

Из принципа неопределенности следует, что в области квантовых явлений неправомерна постановка некоторых вопросов, вполне естественных для классической физики. Так, например, не имеет смысла говорить о движении частицы по определенной траектории. Необходим принципиально новый подход к описанию физических систем. Не все физические величины, характеризующие систему, могут быть измерены одновременно. В частности,

E t ≈

Волновая функция

Max Born (1882-1970)

В квантовой физике состояние системы описывается волновой функцией. Так как для квантовой частицы нельзя одновременно точно определить значения ее координат и импульса, то не имеет смысла говорить о движении частицы по определенной траектории в пространстве можно определить только вероятность нахождения частицы в данной точке в данный момент времени, которая определяется квадратом модуля волновой функции —

W ~ |ψ(x,y,z,t)|2dV

Нобелевская премия по физике

1954 г. – М. Борн За фундаментальные исследования в квантовой

механике, в особенности за статистическую интерпретацию волновой функции.

Статистическая природа квантовых явлений

Квантовая механика является принципиально статистической теорией. Её предсказания носят вероятностный характер. Можно с любой точностью предсказать вероятность найти электрон в произвольной части атома водорода, но нельзя предсказать, в какие моменты времени электрон в эту часть атома попадает.

Различие между классической статистической теорией и квантовой механикой состоит в следующем. В классической статистической теории предполагается, что в принципе мы можем проследить за судьбой, например, всех молекул газа и точно рассчитать их траектории. Но, так как молекул много, то для расчета макроскопических величин нам достаточно знать не все точные величины, описывающие каждую молекулу, а небольшое количество усредненных характеристик системы. Например, для описания газа заключенного в сосуде вводят такие усредненные характеристики как давление и температура. Для отдельной молекулы газа совершенно бессмысленно говорить о её температуре. В противоположность этому в квантовом мире статистические свойства не вторичны, а первичны. Статистический характер процессов в микромире проявляется в том, что и результат измерений в микромире также имеют статистическую природу.

Уравнение

Шредингера

Erwin Schrődinger

(1887-1961)

Эволюция квантовой системы в нерелятивистском случае описывается волновой функцией, удовлетворяющей

уравнению Шредингера

∂ψ = ˆψ i ∂t H

ψ(r,t) — волновая функция,

ˆ — оператор Гамильтона (оператор

H

полной энергии системы).

Уравнениедвижения

свободнойчастицы

Волновая функция свободно движущейся

частицы с энергией E

ψ( r , t) = (2π )−3 / 2 ei(kr −ωt) = (2π )−3 / 2 e i ( pr − Et)

Дифференциальные уравнения, описывающие свободное движение частиц с энергией E

В том, что уравнение (*) справедливо, можно

Уравнение (*) является дифференциальным уравнением первого порядка по времени. Поэтому для определения волновой функции в произвольный момент времени t достаточно знать волновую функцию в начальный момент времени.

Стационарноеуравнение

Шредингера

Если гамильтониан системы не зависит от времени, стационарное уравнение Шредингера имеет вид

Величина Е имеет смысл собственного значения энергии системы, а Ψ(x) описывает состояние с заданной энергией.

Оператор Гамильтона может иметь как дискретный так и непрерывный спектр энергий.

Бесконечнаяпрямоугольнаяяма

Частицавбесконечной прямоугольнойяме (1)

Потенциальная энергия U (x) удовлетворяет

следующим условиям:

Частица всегда находится в области 0 ≤ x ≤ L. Вне этой области ψ = 0. Запишем уравнение

Шредингера для частицы, находящейся в области

0 ≤ x ≤ L.

Волновая функция, являющаяся решением уравнения (2), имеет вид

ψ(L) = 0 и условий непрерывности волновой

т. е. внутри ямы устанавливаются стоячие волны, а энергия состояния частиц имеет дискретный спектр значений En

Частица в бесконечной прямоугольной яме (2)

Частица может иметь только те значения энергии, которые определяются соотношением (6). Об этой ситуации говорят, что энергия квантуется на дискретные уровни. Частица может находиться в каком-то одном из множества дискретных состояний, доступных для неё. Чтобы частица перешла на другой энергетический уровень, она должна приобрести или потерять некоторое количество энергии, равное разности энергий уровней, между которыми происходит переход.

Энергии состояний растут квадратично в зависимости от квантового числа n. Каждому значению энергии соответствует волновая

имеет вид

2(πnx )

ψn (x) = L sin L .

Связанные состояния

E4

E3

В отличие от классической частицы, квантовая частица в прямоугольной яме не

одномерном поле бесконечной потенциальной ямы полностью описываются с помощью одного квантового числа n. Спектр энергий в этом случае

дискретный.

Пример

Вычислить допустимые уровни энергии электрона, находящегося в прямоугольной потенциальной яме шириной 10−8 см,

протона, находящегося в потенциальной яме 5 Фм, и шарика массой 1 г, находящегося в потенциальной яме шириной 1 см.

= 3,4 10−42 n2 эВ.

Операторы (1)

Каждой физической величине F в квантовой

теории сопоставляется линейный оператор ˆ ,

F

действующий на волновую функцию Ψ(r,t) .

Под оператором ˆ понимается правило, по

F

которому одной функции Ψ(r,t) переменных r,t сопоставляется другая функция U (r,t) тех же

переменных.

= ˆ Ψ

U (r,t) F (r,t)

Спектр собственных значений оператора ˆ

F

представляет собой спектр возможных (измеряемых) значений этой величины. С результатами экспериментов сопоставляются средние значения физических величин, которые вычисляются по формуле

F=∫Ψ*FΨdv

Например: оператор ˆ может означать

F

дифференцирование по какой-либо переменной.

= ˆ Ψ = ∂Ψ ∂

U (r,t) F (r,t) (r,t) / r

ˆ = ∂ ∂

F / r

Операторы

правило, по которому одной функции

U(x1, x2, x3,…) переменных x1, x2, x3,…

Гамильтониан

Общий вид:

H =E +U

Свободная частица:

H =−2m2

Частица в одномерной потенциальной яме U(x):

Гармонический осциллятор:

Пример

Операторы координат и проекции импульса на различные оси коммутируют между собой.

xpy − p y x = 0 ,

т. е. величины x и py одновременно измеримы.

В то же время операторы х и рх не

коммутируют:

xpх − p х x = i .

Поэтому соответствующие им величины x и px не имеют одновременно определенные значения.

Оператормоментаколичества

движенияиегопроекции

Любые две проекции момента количества движения одновременно не могут иметь определенные значения. Исключением является состояние, когда момент количества движения L = 0 , при этом

Lx = Ly = Lz = 0. В то же время операторы

проекции момента количества движения

Lx , Ly и Lz коммутируют с оператором

квадрата момента количества движения

L2:

Lx L2 − L2 Lx = 0,

Ly L2 − L2 Ly = 0 ,

Lz L2 − L2 Lz = 0 .

Квадрат полного момента количества движения и одна из его проекций на произвольную ось могут одновременно иметь определенные значения.

Пример

Вычислить коммутатор Lx Ly − Ly Lx Воспользовавшись соотношениями,

Вычитая из верхнего равенства нижнее, получим

Аналогично для различных вариантов коммутаторов получим

Ly Lx − Lx Ly = i Lх ,

Lz Lx − Lx Lz =i Ly .

3. Измерения

5. Гамильтониан

Состояния в классической и квантовой физике (1)

Состояние классической частицы в любой момент времени описывается заданием ее координат и импульсов (x, y, z, px , py , pz ). Зная эти величины в момент времени t ,

можно определить эволюцию системы под действием известных сил во все последующие моменты времени. Координаты и импульсы частиц сами являются величинами, непосредственно измеряемыми на опыте. В квантовой физике состояние системы описывается волновой функцией ψ(x, y, z). Т.к. для квантовой частицы нельзя одновременно

точно определить значения ее координат и импульса и не имеет смысла говорить о движении частицы по определенной траектории, можно определить только вероятность нахождения частицы в данной точке в данный момент времени, которая определяется квадратом модуля волновой функции

W (x, y, z,t)dV = ψ(x, y, z,t) 2 dV .

Изменение состояния классической частицы во времени описывается уравнениями Гамильтона

H — функция Гамильтона, H = p2 / 2m +U (x, y, z),

U (x, y, z) — потенциал поля, в котором движется частица.

В квантовой физике изменение состояния частицы

описывается уравнением Шредингера i ∂∂Ψt = HΨ

ˆ — оператор Гамильтона — аналог классической функции

H

Гамильтона, в которой p и r заменены на операторы импульса pˆ и координаты xˆ .

Состояниявклассическойи квантовойфизике (2)

H= p2 / 2m +U (r)

Вклассической физике движение частицы в принципе с любой степенью точности определяется заданием начальных условий. В квантовой физике описание состояния имеет вероятностный характер.

Измеряемые величины в квантовой физике являются статистическими средними, определяемыми соответствующими операторами

F = ∫Ψ * FΨdV

Например, средние значения координаты и импульса

всостоянии, описываемом волновой функцией

ψ(x, y, z) даются соотношениями

r = ∫Ψ* rΨdV

Гармоническийосциллятор

Примером сходства и различия между классической и квантовой физикой является теория гармонического осциллятора.

Полная энергия классического гармонического осциллятора.

Екл = 12 mL2ω2 sin2 ωt + 12 mL2ω2 cos2 ωt

Собственные значения, т.е. допустимые значения полной энергии квантового осциллятора.

Eкв = (n + 12) ω

Квантовыйгармоническийосциллятор (2)

Потенциальная энергия гармонического осциллятора U (x) имеет вид

U (x) = mω2 x2 .

2

Одномерное уравнение Шредингера имеет вид

В отличие от бесконечной прямоугольной ямы, спектр уровней гармонического осциллятора эквидистантен.

В отличие от классической частицы, квантовая частица не может находиться на дне потенциальной ямы. С увеличением массы частицы или размеров области ее локализации квантовое описание частицы переходит в классическое.

Квантовыйгармоническийосциллятор (3)

Каждому энергетическому состоянию соответствует волновая функция, описываемая полиномом Эрмита Hn .