Размеры и структура ядер и частиц
Для исследования размеров и структуры атомных ядер и частиц используются электронные пучки с энергией до 20 ГэВ. Эти эксперименты по существу являются дальнейшим развитием метода Резерфорда по зондированию атомов. В отличие от α-частиц, которые
использовал Резерфорд, электроны – точечные объекты, поэтому при анализе результатов экспериментов нет необходимости отделять эффекты, обусловленные структурой исследуемого объекта, от эффектов, обусловленных структурой налетающей частицы. Электроны взаимодействуют с исследуемой частицей посредством хорошо изученного электромагнитного взаимодействия.
Формула Резерфорда
Рассеяние точечной заряженной частицы на точечном объекте
2
dσ = z1z2e2 1 θ dΩ 4E sin4 2 ,
z1 - заряд налетающей частицы, z2 - заряд рассеивающей частицы,
E - энергия налетающей частицы,
θ - угол рассеяния налетающей частицы.
Зависимость отношения измеренного эффективного сечения к сечению кулоновского рассеяния от угла рассеяния в случае упругого рассеяния α-частиц с
энергией 22 МэВ на свинце
Видно, что экспериментальное эффективное сечение совершенно не согласуется с предположением о кулоновском характере взаимодействия выше критического угла 90°.
Пример
Коллимированный пучок α -частиц с энергией T =10 МэВ падает перпендикулярно на медную
фольгу толщиной δ =1 мг/см2. Частицы, рассеянные под углом θ = 30°, регистрируются детектором площадью S =1 см2, расположенным на расстоянии l = 20 см от мишени. Какая доля от полного числа рассеянных α -частиц будет зарегистрирована
детектором?
N = N0 NA δ dσ ΔΩ,
ACu dΩ
dσ(θ) |
|
Zze |
2 2 |
1 |
, |
Ω = S / 4l2 . |
||
= |
|
|
||||||
dΩ |
4T |
sin4 θ |
||||||
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
Тогда доля частиц, рассеянных под углом θ = 30°
N |
= |
NA |
δ |
Zze2 |
2 |
|
1 |
|
|
|
Sдет |
= |
|
6,02 1023 |
10−3 × |
||||||||
N |
|
A |
|
4T |
|
4 θ |
2 |
63 |
|
|
|||||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
sin |
|
|
4πl |
|
|
|
|||||||||||
|
|
Cu |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 29 1, 44 10−13 2 |
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
1,9 10−8. |
||||||||||
|
|
|
× |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
4 10 |
|
|
|
|
sin |
4 |
15° |
|
4π(20) |
2 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
ФормулаМотта
Для исследования внутренней структуры ядер используют электроны
c энергией >100 МэВ.
При описании рассеяния электронов на ядре со спином J=0 необходимо, по сравнению с формулой Резерфорда, дополнительно учесть следующие факторы.
1.Электрон обладает спином ( se =1/ 2).
2.Энергия налетающего электрона может быть сравнима или даже превосходить энергию покоя рассеивающей частицы.
Дифференциальное сечение рассеяния точечных частиц со спином 1/2 и зарядом Q = −e на точечной бесспиновой частице-мишени
описывается формулой Мотта
dσ |
|
Ze2 |
2 |
|
1 |
|
|
|
cos2 θ / 2 |
|
|
|
||||
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
2E |
sin |
4 |
θ / 2 |
|
|
|
2E sin2 θ |
/ 2 |
|
||||||
dΩ Мотт |
|
|
|
|
+ |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
mc |
2 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Z — атомный номер ядра,
E — энергия падающего электрона, θ — угол рассеяния электрона,
q — переданный ядру четырех-импульс, m — масса ядра.
q2 = (Ei − Ef )2 / c2 −( pi − pf )2 ,
Ei, Ef, pi , pf — энергии и импульсы рассеиваемого электрона в
начальном и конечном состояниях.
В нерелятивистском пределе формула Мотта переходит в формулу Резерфорда.
Формфакторядра
Так как ядро имеет конечные размеры, расчеты по формуле Мотта дают завышенные по сравнению с экспериментом значения дифференциального сечения. Распределение зарядов в ядре описывается с помощью формфактора F(q2). Формфактор описывает отклонение размера ядра от точечного.
dσ |
= |
|
F(q2 ) |
|
2 |
dσ |
||||
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|||||||
dΩ экс |
|
|
|
|
|
dΩ Мотт |
||||
|
|
|
|
|
||||||
Для упругого рассеяния формфактор зависит только от квадрата переданного импульса и связан с плотностью распределения
ядерной материи ρ(r) соотношением
F(q2 ) = ∫ρ(r)eiqr / dr |
(*) |
Зависимость формфактора от q2 отражает тот факт, что с увеличением величины квадрата переданного импульса q2 уменьшается длина волны виртуального фотона, что приводит к увеличению пространственного разрешения эксперимента.
Формфактор ядра вычисляют, сравнивая экспериментально измеренное сечение упругого рассеяния электронов с сечением, рассчитанным по формуле Мотта. Свободные параметры плотности распределения электрического заряда подбираются так, чтобы согласовать вычисленные по формуле (*) значения формфактора с полученными в эксперименте.
Зарядовые распределения и соответствующие им формфакторы
Распределение заряда ρ(r) |
|
|
|
|
|
Формфактор F(q2 ) |
||||||||||
точечное |
δ(r) |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
константа |
|||||
экспоненциальное |
ρ |
е− |
r |
|
|
|
q2a |
2 |
|
−2 |
|
|||||
a |
|
|
|
|
|
дипольный |
||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
1+ |
2 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
r 2 |
|
|
|
q2a2 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Гауссово |
ρ0е− |
a |
|
3 |
e− |
4 2 |
|
|
|
|
Гауссов |
|||||
однородная сфера: |
ρ0 при r ≤ R, |
(Sinα −αCosα), осциллирующий, |
||||||||||||||
|
0 при r > R |
|
α3 |
|||||||||||||
|
|
где α = |
q |
R |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Зарядовые распределения ρ(r) и соответствующие им
формфакторы F(q2)
Распределение заряда ρ(r) |
Формфактор F(q2) |
||||||||||||||||
точечное |
δ |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
(r) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
− |
r |
|
|
|
|
|
|
|
q2a2 −2 |
|||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||
экспоненциальное |
ρ0e a |
|
1 |
+ |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
2 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r 2 |
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|||||||
|
− |
|
|
|
|
− |
q a |
|
|
||||||||
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Гауссово |
ρ0е a |
|
e |
4 2 |
|
|
|||||||||||
однородная сфера: ρ при r ≤ R, |
3 |
(sinα−αcosα), |
|||||||||||||||
|
0 при r > R |
|
α3 |
||||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где α = |
|
q |
|
R |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Размерядра
Ядерные форм-факторы рассчитывают, исходя из измерений дифференциальных сечений рассеяния электронов с энергией больше 100 МэВ на атомных ядрах. Простейшим приемлемым приближением распределения ядерной материи является распределение Ферми.
,
ρ(r) = |
|
ρ0 |
|
|
1+exp[(r − R) / a] |
, |
|
ρ0 — плотность ядерной материи в центре ядра,
R — радиус ядра — расстояние, на котором плотность ядерной материи спадает в два раза,
a — параметр диффузности (спад плотности от 0.9 ρ0 до 0.1 ρ0
).
Для ядер, расположенных вблизи долины стабильности, были установлены следующие закономерности.
•Пространственные распределения протонов и нейтронов в ядре совпадают.
•Плотность ядерной материи в центре ядра ρ0 приблизительно одинакова у всех ядер и составляет
~ 0.17 нукл./Фм3.
•Толщина поверхностного слоя t у всех ядер примерно одинакова t = 4.4a = 2.4 Фм.