9. Цилиндрические и сферические координаты.

В цилиндрической системе координат положение точки М пространства определяется полярными координатами r и точкиМ' - проекции точки М на плоскость хОу - и аппликатой z самой точки М (рис. 38). Числа r, и z называютсяцилиндрическими координатами точки М, причем r 0, 0< 2и z- любое действительное число. Из рис. 38 видно, что цилиндрические координаты r,и z связаны с прямоугольными соотношениями

х = r cos , у = r sin, z = z.

Рис.38

В сферической системе координат положение точки М в пространстве определяется ее расстоянием r от начала О, углом между положительным направлением осиОх и проекцией отрезка ОМ на плоскость хОу, углом между положительным направлением осиOz и отрезком ОМ (рис. 39). Числа r, иназываютсясферическими координатами точки М или полярными координатами в пространстве, при этом

r 0, 0 < 2, 0.

Из рис. 39 видно, что сферические координаты r, исвязаны с прямоугольными координатами соотношениями

х =r sin cos,у = r sin -sin , z = r cos.

Откуда

1. Скалярное произведение двух векторов и его основные свойства.

Определение. Скалярным произведением двух векторовназывается число, равное произведению модулей этих векторов на косинус угла между ними.

Скалярное произведение векторов иобозначается символомили(, ). Если угол между векторамииравен, то

= | | | |соs

Через обозначим проекцию векторана ось с направлением вектора. Так как ||соs=и ||соs=(см. § 2.1, п. 7), можно записать

=||;= ||,

т.е. скалярное произведение двух векторов равно модулю одного из них, умноженному на проекцию другого на ось с направлением

Раскроем физический смысл скалярного произведения. Если вектор изображает силу, точка приложения которой перемещается из начала в конец вектора, то работа А указанной силы определяется равенством

A=| | | | cos,

т.е. равна скалярному произведению векторов и.

Скалярное произведение обладает следующими основными свойствами

1) =(переместительное свойство);

2)== ||²(3)

(²называется скалярным квадратом вектора);

3)(+)=+(распределительное свойство);(4)

4) ()=()(сочетательное свойство относительно числового множителя).

Докажем, например, свойство 3. На основании формулы (2) и свойства проекций (см. § 2.1, (5)) имеем

( +)=||(+)=||(+=|+||=+ =+,

т.е. получаем равенство (4).

Примечание. Из свойств 1, 3, 4 скалярного умножения и свойств линейных операций над векторами (см. § 2.1, п. 2) следует, что векторы можно перемножать скалярно как многочлены.

Из равенства (1) следует, что косинус угла между двумя ненулевыми векторами иравен

Из формулы (5) получаем, что два вектора и)перпендикулярны (ортогональны), =тогда и только тогда, когда

= 0.(6)

Это утверждение справедливо также и в том случае, когда хотя бы один из векторов илинулевой (нулевой вектор имеет неопределенное направление и его можно считать ортогональным любому вектору).

2. Скалярное произведение векторов в координатной форме.

Пусть и.

Перемножая эти векторы как многочлены и учитывая вытекающие из равенств (3) и (6) соотношения === 0, === 1, будем иметь

= .(7)

Таким образом, скалярное произведение двух векторов равно сумме парных произведений их одноименных координат

Пример. Если (1, 3,-1),(1, 0, 4), то по формуле (7) имеем=-3. Из равенства (7) с учетом формулы (3) имеем

Отсюда с учетом формул (5) и (7) находим угол между векторами:

Задача. Найти расстояние между точками М₁(х₁; у₁;z₁),М₂(х₂; у_2;, z₂).

Так как (см. § 2. 1 , п. 8) , то согласно формуле (8).

В п. 1 было отмечено необходимое и достаточное условие opтогональности векторов в виде равенства (6).

Согласно формуле (7) это условие можно представить в виде(10)