3. Понятие линейной зависимости векторов.

Векторы  называютсялинейно зависимыми если существуют не все равные нулю, для которых имеет место

Векторы называютсялинейно независимыми если равенство (2) имеет место только при .

Из равенства (2), предполагая, например, что , получаем

Полагая

Выражение  называется линейной комбинацией векторов 

Таким образом, если несколько векторов линейно зависимы, то хотя бы один из них всегда можно представить в виде линейной комбинации остальных.

Справедливо и обратное утверждение, если один из векторов представлен в виде линейной комбинации остальных векторов, то все эти векторы линейно зависимы.

4. Линейная зависимость векторов на плоскости.

Теорема1 . Всякие три вектора ,ина плоскости линейно зависимы.

Доказательство

Достаточно убедиться в том, что один из векторов является линейной комбинацией остальных. Возможны два случая.

1. Среди данных векторов имеется пара и. Тогда (см. п. 2)

т.е. вектор есть линейная комбинация векторови.

2.Среди данных векторов нет ни одной пары коллинеарных. Допустим, что все три вектора имеют общее начало О (рис.30). Покажем, что вектор можно представить в виде суммы двух векторов, один из которых коллинеарен вектору, а другой - вектору.

Для этого через конец М вектора проведем прямые, параллельные векторами, до их пересечения в точкахВ и С c прямыми, на которых соответственно расположены векторыи. Имеем очевидное равенство

Так как векторы иколлинеарны соответственно векторами, тои.

Поэтому , т.е.является линейной комбинацией векторови.

Следствие.Если число данных векторов на плоскости больше трех, то они также линейно зависимы.

В самом деле, пусть даны n векторов (n > 3). Так как три вектора на плоскости всегда линейно зависимы, то для векторовимеем. В таком случае для всех n векторов можно написать

т.е. вектор есть линейная комбинация остальных векторов.

Что касается двух векторов и, то, как известно (см. п. 2), они коллинеарны тогда и только тогда, когда имеет место равенство, т.е. когда векторыилинейно зависимы. Отсюда непосредственно вытекает следующая теорема.

Теорема 2. Для того чтобы два вектора и на плоскости были линейно независимы, необходимо и достаточно, чтобы они бы

Из теорем 1 и 2 следует, что максимальное число линейно независимых векторов на плоскости равно двум.

5. Линейная зависимость векторов в пространстве.

Определение.Векторы называются  компланарнымиесли они лежат в одной плоскости или параллельны одной плоскости.

Заметим, что если компланарные векторы имеют общее начало, то они, очевидно, лежат в одной плоскости.

Теорема Всякие четыре вектора ,,ив пространстве линейно зависимы

Из этой теоремы аналогично следствию из п. 4 получим следствие.

Следствие.Если число данных векторов в пространстве больше четырех, то они также линейно зависимы.

Аналогично предыдущему пункту устанавливаем следующее.

Для того чтобы три вектора в пространстве были компланарны, необходимо и достаточно, чтобы они были линейно зависимы.

Отсюда непосредственно вытекает следующая теорема.

Теорема . Для того чтобы три вектора ,ив пространстве были линейно независимы, необходимо и достаточно, чтобы они были некомпланарны.

Из теорем 1 и 2 следует, что максимальное число линейно независимых векторов в пространстве равно трем.