Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Санкт-Петербургский государственный морской технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Тема 1. Линейная алгебра.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

18.04.2015

Размер:

577.53 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 169 10 11 12 13 14 15 16 > Следующая >>>

2. перемена местами столбцов с запоминанием какому неизвестному соответствует

K xn

a11

a12

K a1n

a12

a11

K a1n

каждый столбец:

K a

;

K K K K

K a

m n

3.умножение (деление) строки на число, отличное от нуля;

4.прибавление к элементам одной строки соответствующих элементов другой строки, умноженных на одно и тоже число;

5.вычеркивание одной из двух пропорциональных (в частности, равных) строк;

6.вычеркивание нулевой строки.

1.8. Метод Гаусса

Целью метода Гаусса является: пользуясь элементарными преобразованиями получить в первых k - строках и k - столбцах расширенной матрицы единичную матрицу.

При этом возможны три случая:

1. Расширенная матрица СЛАУ приведена к виду:

		x1	x2	K xn		x	= c
						x	= c
1 0				K 0	c1	1	1
1 0				K 0	c1	1	1
	0		1	K 0	c	x2	= c2	.
	0		1	K 0	c	. Система имеет единственное решение		.
					2	LL
K K K K					K	LL
K K K K					K	x	= c
						x	= c
	0		0	K 1		n	n
	0		0	K 1	cn

Пример 1

2x1 +3x2 +2x3 = 9

x +2x −3x =14

Методом Гаусса решить СЛАУ: 1 2 3 .

3x1 +4x2 + x3 =16

ЗАМЕЧАНИЕ

Это уже третий способ решения данной системы. До этого решение системы было найдено по формулам Крамера и матричным методом.

Решение
	x1	x2	x3
2		3	2	9

Выпишем расширенную матрицу системы:	1	2	−3	14	.

	3	4	1	16

1 – ый шаг. Получим в верхнем			левом углу матрицы единицу. Для этого поменяем
		x1 x2		x3				x1 x2		x3
местами первую и вторую строки:	2		3	2		9	1		2	−3	14	. Умножим первую
	2		3	2		9	1		2	−3	14

		1	2	−3		14		2	3	2	9
		3	4	1		16		3	4	1	16


					21

строку на (−2) и прибавим ее ко второй строке, затем умножим первую строку на (−3) и прибавим ее к третьей строке. После выполнения указанных операций все элементы первого

столбца				матрицы,	кроме				a11 ,		окажутся	равными	нулю:
	x1 x2		x3				x1	x2 x3
	1	2	−3	14 (−2) (−3)	1			2 −3		14

											.

	2	3	2	9		0		−1 8		−19

	3	4	1	16		0		−2 10		−26

Чтобы упростить дальнейшие вычисления, мы еще разделим третью строку на общий
	x1	x2 x3				x1	x2	x3
1		2 −3	14		1		2	−3	14

множитель всех ее элементов – (−2):										.
	0	−1 8	−19			0	−1 8		−19
	0	−2 10	−26	: (−2)		0	1	−5	13

–

ой шаг. Теперь сделаем элемент a22

равным единице, а остальные элементы

второго

столбца

“обнулим”.

Для

этого

поменяем

местами

вторую и

третью

строки:

−3

1 2 −3

Умножим вторую строку на

(−2) и

−1 8

−19

0 1 −5

0 1

−5

−1 8

−19

прибавим ее к первой строке,

затем

третьей

строке

прибавим

вторую

строку:

x1 x2 x3

−3

1 0 7

−12

(−2)

−5

0 1 −5

−1 8

−19

0 0 3

−6

	3 – ий шаг. Разделим третью строку на													(−3), после этого элемент a33			будет равен
			x1 x2 x3							x1	x2		x3
единице:		1 0 7					−12		1 0 7						−12
		1 0 7					−12		1 0 7						−12
						−5							−5		.
		0 1				−5	13		0 1				−5		13
		0		0		3	−6 : (3)		0		0	1			−2
		0		0		3	−6 : (3)		0		0	1			−2
	Умножим третью строку на (5)								и прибавим ее ко второй строке, затем умножим третью
строку на (−7) и прибавим ее								к первой строке, тогда все элементы третьего столбца
матрицы,						кроме			a33 ,						окажутся	равными	нулю:
	x1 x2 x3							x1 x2 x3
1 0 7					−12			1 0 0					2
1 0 7					−12			1 0 0					2
														.
	0 1 −5				13			0 1 0					3
	0 1 −5				13			0 1 0					3

					−2		(−7)						−2
	0 0	1				(5)		0	0		1
	0 0	1				(5)		0	0		1

x1 = 2

В итоге получаем единственное решение системы: x2

= 3 .

= −2

2. Расширенная матрица СЛАУ приведена к виду:

х1

x2 K xk xk +1 xk +2 K xn

0 K 0 α

K γ

0 1 K 0 α2

β2

K γ2

c2 .

K K K K K K K K

0 K 1 αk

βk

K γk

В этом случае система имеет бесконечно много решений, которые можно записать в

x1 = c1 −α1 xk +1 − β1xk +2 −K−γ1xn
x2	= c2 −α2 xk +1 − β2 xk +2				−K−	γ2 xn	, где	x1 , x2 ,K, xk	- базисные неизвестные,
виде:							, где	x1 , x2 ,K, xk	- базисные неизвестные,
LLLLLLLLLLLLLL
x	= c	−α	x	− β x	−K−	γ x
k	k		k k +1	k k +2		k n

xk +1 , xk +2 ,K, xn - свободные неизвестные (любые вещественные числа).

Пример 2

2x1 − x2 + x3 = 0
Решить СЛАУ: −x1 +3x2 +2x3 = 2 .
x +2x	2	+3x = 2
1		3

Решение

Выпишем расширенную матрицу системы и выполним действия по методу Гаусса:

x1	x2		x3			x1	x2 x3						x1 x2			x3
2	−1		1	0	1		2	3	2	(−2)	1			2		3	2




−1 3			2	2	−1 3			2	2			0		5	5		4
1	2		3	2	2		−1 1		0			0		−5		−5	−4


		x1 x2 x3					x1 x2 x3					x1		x2 x3

				1 2 3		2

1 2 3		2						1
						4
	0 5 5	4	: (5)		0 1 1	4	(−2)
						5			0
						5			0

получаем бесконечно много решений системы в виде:

0		1	2				Таким	образом,
			2
			5		.
			4
1		1	4
			5
			5
x		=	2	− x
x		=		− x
	1		5			3	, где x1 , x2	- базисные
			5
			4
			4
x2 =					− x3
x2 =			5		− x3
			5

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 169 10 11 12 13 14 15 16 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
18.04.201521.5 Кб19ТАУ-3.doc
#
01.03.20253.87 Mб0Тв. проект_7_ кл. (труд)2.docx
#
01.03.202544.03 Кб0ТГП 28.11.doc
#
01.07.202537.42 Кб0тексты по английскому языку аудирование.docx
#
01.04.2025368.71 Кб0Тема Управление денежными средствами и их экви...docx
#
18.04.2015577.53 Кб45Тема 1. Линейная алгебра.pdf
#
11.07.2019784.9 Кб16Тема 1_Объект, предмет и функции социологии.doc
#
18.04.2015586.35 Кб42Тема 2. Векторная алгебра.pdf
#
11.07.2019264.7 Кб4Тема 2_Структура и методология социологии.doc
#
18.04.201590.11 Кб73Тема 3 Проектирование.doc
#
18.04.2015165.38 Кб15Тема 4 Методы и приемы инж деят.doc